《探究凸四边形的求积公式.docVIP

探究凸四边形的求积公式 ----扩展的婆罗摩笈多公式和海伦公式 〖内容摘要〗若四边形ABCD（如图所示）边长分别为a、b、c、d，两对角线长分别为e、f，其夹角θ（θ＜90°），求四边形（四内角均小于180°重点研究 1、〖扩展的婆罗摩笈多公式〗 由三角形面积公式得：S四边形＝(1/2)adsinA+(1/2)bcsinC S2＝(1/4)(adsinA)2 +(1/4)(bcsinC)2+(1/2)abcdsinAsinC ＝(1/4)(a2d2+b2c2) - (1/4)(adcosA)2 - (1/4)(bccosC)2+(1/2)abcdsinAsinC ＝(1/4)(ad+bc)2-(1/4)2abcd - (1/4)(a2d2cos2A) - (1/4)(b2c2cos2C) + (1/2)abcdsinAsinC 其中：因f2=a2+d2-2adcosA=b2+c2-2bccosC 有：a2+d2-b2-c2=2adcosA -2bccosC (a2+d2-b2-c2)2=(2adcosA)2+(2bccosC)2-8abcdcosAcosC 得：4(adcosA)2+4(bccosC)2=(a2+d2-b2-c2)2-8abcdcosAcosC 代入时有: S2＝(1/4)(ad+bc)2-(1/16)(a2+d2-b2-c2)2-(1/4)2abcd -(1/2)abcdcosAcosC+(1/2)abcdsinAsinC S2＝(1/4)(ad+bc)2-(1/16)(a2+d2-b2-c2)2-(1/4)2abcd-(1/2)abcdcos(A+C) ＝(1/16)｛〔4(ad+bc)2+(a2+d2-b2-c2)2〕｝-(1/2)abcd-(1/2)abcdcos(A+C) ＝(1/16)｛〔4(ad+bc)2+(a2+d2-b2-c2)2〕｝-(1/2)abcd｛1- cos(A+C)｝ ＝(1/16)｛〔2(ad+bc)+(a2+d2-b2-c2)〕〔2(ad+bc)-(a2+d2-b2-c2)〕｝ - abcd cos2〔(A+C)/2〕 ＝(1/16)｛〔(a+d)2-(b-c)2〕〔(b+c)2-(a-d)2〕｝- abcd cos2〔(A+C)/2〕 ＝(1/16)｛〔(a+d)+(b-c)〕〔(a+d)-(b-c)〕〔(b+c)+(a-d)〕〔 (b+c) -(a-d)〕｝ - abcd cos2〔(A+C)/2〕 令2p＝a+b+c+d，代入后化简: S2＝(p-a)(p-b)(p-c)(p-d) – abcd cos2〔(A+C)/2〕 S ＝√｛(p-a)(p-b)(p-c)(p-d) – abcd cos2〔(A+C)/2〕｝ 此为著名的扩展的婆罗摩笈多公式。 2、〖基本形式的婆罗摩笈多公式〗 婆罗摩笈多公式的最简单易记的形式，是圆内接四边形面积计算。若四边形ABCD为圆内接四边形时，则有cos〔(A+C)/2〕=0，则上面推导的面积公式为： S ＝√｛(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)- abcdcos〔(A+C)/2〕｝ ＝√｛(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)｝ 这就是著名的婆罗摩笈多公式。 3、〖更特殊的情形----圆内外接四边形面积〗 若圆O的圆内接四边形的四边长为a, b, c, d，且外切于圆C，则其面积为： 证明：由于四边形内接于圆O，所以： 其中p为半周长： 又因为四边形外切圆C，所以： 则： 同理: ， ， 综上： 证毕。 4、〖三角形面积的海伦公式〗 海伦公式给出三角形的面积。它是婆罗摩笈多公式取d＝0的特殊情形。 S ＝√｛p (p-a)(p-b)(p-c)｝ 5、〖对角线e、f及其夹角为θ的四边形面积〗 若四边形的对角线为e、f，对角线夹角为θ时，则四边形的面积 S＝(1/2) ef sinθ (此公式为四边形的其本面积公式之一) 解：S四边形＝(1/2) e1f1 sinθ+ (1/2)f1 e2 sinθ+ (1/2)e2f2 sinθ+ (1/2)f2 e1) sinθ ＝(1/2) (e1f1+f1 e2+e2f2+f2 e1) sinθ＝(1/2) ef sinθ 〖特殊情形〗若四边形的两对角线相互垂直 (sinθ＝1)时，四边形的面积可以角线乘积一半│(a2-b2+c2-d2)│tanθ 证明：因：a2＝e12+f12-2 e1f1 cos (180°-θ) b2＝f12+ e22-2 f1 e2cosθ