(2015年高中数学步步高大一轮复习讲义文科第九章专题五.docVIP

专题五　高考中的圆锥曲线问题 1． 已知F1、F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点．若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________. 答案　8 解析　由题意知(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|) ＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝2a＋2a， 又由a＝5，可得|AB|＋(|BF2|＋|AF2|)＝20， 即|AB|＝8. 2． 设AB为过抛物线y2＝2px(p0)的焦点的弦，则|AB|的最小值为(　　) A. B．p C．2p D．无法确定 答案　C 解析　当弦AB垂直于对称轴时|AB|最短， 这时x＝，∴y＝±p，|AB|min＝2p. 3． 若双曲线－＝1的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则该双曲线的实轴长为(　　) A．1 B．2 C．3 D．6 答案　B 解析　双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x， 即x±ay＝0， 圆(x－2)2＋y2＝4的圆心为C(2,0)，半径为r＝2， 如图，由圆的弦长公式得弦心距|CD|＝＝，另一方面，圆心C(2,0)到双曲线－＝1的渐近线x－ay＝0的距离为d＝＝， 所以＝，解得a2＝1，即a＝1，该双曲线的实轴长为2a＝2. 4． 在抛物线y＝2x2上有一点P，它到A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P的坐标是(　　) A．(－2,1) B．(1,2) C．(2,1) D．(－1,2) 答案　B 解析　如图所示，直线l为抛物线y＝2x2的准线，F为其焦点，PN⊥l，AN1⊥l，由抛物线的定义知，|PF|＝|PN|， ∴|AP|＋|PF|＝|AP|＋|PN|≥|AN1|， 当且仅当A、P、N三点共线时取等号． ∴P点的横坐标与A点的横坐标相同即为1， 则可排除A、C、D，故选B. 5． 设坐标原点为O，抛物线y2＝2x与过焦点的直线交于A、B两点，则·等于(　　) A. B．－ C．3 D．－3 答案　B 解析　方法一　(特殊值法) 抛物线的焦点为F，过F且垂直于x轴的直线交抛物线于A(，1)，B(，－1)， ∴·＝·＝－1＝－. 方法二　设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则·＝x1x2＋y1y2. 由抛物线的过焦点的弦的性质知： x1x2＝＝，y1y2＝－p2＝－1. ∴·＝－1＝－. 题型一　圆锥曲线中的范围、最值问题 例1　(2012·浙江改编)如图所示，在直角坐标系xOy中，点P(1，)到抛物线C：y2＝2px(p0)的准线的距离为.点M(t,1)是C上的定点，A，B是C上的两动点，且线段AB的中点Q(m，n)在直线OM上． (1)求曲线C的方程及t的值． (2)记d＝，求d的最大值． 思维启迪　(1)依条件，构建关于p，t的方程； (2)建立直线AB的斜率k与线段AB中点坐标间的关系，并表示弦AB的长度，运用函数的性质或基本不等式求d的最大值． 解　(1)y2＝2px(p0)的准线x＝－， ∴1－(－)＝，p＝， ∴抛物线C的方程为y2＝x. 又点M(t,1)在曲线C上，∴t＝1. (2)由(1)知，点M(1,1)，从而n＝m，即点Q(m，m)， 依题意，直线AB的斜率存在，且不为0， 设直线AB的斜率为k(k≠0)． 且A(x1，y1)，B(x2.y2)， 由得(y1－y2)(y1＋y2)＝x1－x2， 故k·2m＝1， 所以直线AB的方程为y－m＝(x－m)， 即x－2my＋2m2－m＝0. 由消去x， 整理得y2－2my＋2m2－m＝0， 所以Δ＝4m－4m20，y1＋y2＝2m，y1y2＝2m2－m. 从而|AB|＝ ·|y1－y2|＝· ＝2 ∴d＝＝2≤m＋(1－m)＝1， 当且仅当m＝1－m，即m＝时，上式等号成立， 又m＝满足Δ＝4m－4m20. ∴d的最大值为1. 思维升华　圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化 为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的 有界性等求最值． 　椭圆C：＋＝1的左顶点、右焦点分别为A，F，直线的方程为x＝9，N为直线上一点，且在x轴的上方，AN与椭圆交于M点． (1)若M是AN的中点，求证：MA⊥MF. (2)过A，F，N三点的圆与y轴交于P，Q两点，求|PQ|的取值范围． (1)证明　由题意得A(－6,0)，F(4,0)，xN＝9，∴xM＝， 又M点在椭圆上，且在x轴上方， 得yM＝， ∴＝(－，－)，＝(，－)， ∴·＝－＋＝0，∴MA⊥MF. (2)解　方法一　设N(9，t)，其中t0， ∵圆过A，F，N三点， ∴圆心在线段AF的中垂线上． 设圆心为(－1，b)，