(2015年高中数学步步高大一轮复习讲义文科第五章专题二.docVIP

专题二　高考中的三角函数的综合问题 1．(2013·北京)“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　当φ＝π时，y＝sin(2x＋φ)＝－sin 2x过原点．当曲线过原点时，φ＝kπ，k∈Z，不一定有φ＝π.∴“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过原点”的充分不必要条件． 2．已知向量a＝(2，sin x)，b＝(cos2x,2cos x)，则函数f(x)＝a·b的最小正周期是(　　) A. B．π C．2π D．4π 答案　B 解析　f(x)＝2cos2x＋2sin xcos x＝1＋cos 2x＋sin 2x ＝1＋sin，T＝＝π. 3．若函数f(x)＝(1＋tan x)cos x,0≤x，则f(x)的最大值为(　　) A．1 B．2 C.＋1 D.＋2 答案　B 解析　依题意，得f(x)＝cos x＋sin x＝2sin(x＋)， 当0≤x时，≤x＋， f(x)的最大值是2. 4．已知向量＝(2,0)，向量＝(2,2)，向量＝(cos α，sin α)，则向量与向量的夹角的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由题意，得：＝＋＝(2＋cos α，2＋sin α)，所以点A的轨迹是圆(x－2)2＋(y－2)2＝2，如图，当A位于使向量与圆相切时，向量与向量的夹角分别达到最大、最小值，故选D. 5．(2012·四川改编)如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，连接EC、ED，则sin∠CED＝_______________________. 答案　 解析　方法一　应用两角差的正弦公式求解． 由题意知，在Rt△ADE中，∠AED＝45°， 在Rt△BCE中，BE＝2，BC＝1， ∴CE＝，则sin∠CEB＝，cos∠CEB＝. 而∠CED＝45°－∠CEB， ∴sin∠CED＝sin(45°－∠CEB) ＝(cos∠CEB－sin∠CEB) ＝×＝. 方法二　利用余弦定理及同角三角函数基本关系式求解． 由题意得ED＝，EC＝＝. 在△EDC中，由余弦定理得 cos∠CED＝＝， 又0∠CEDπ， ∴sin∠CED＝＝ ＝. 题型一　三角函数的图像和性质 例1　已知函数f(x)＝sin(ωx＋)＋sin(ωx－)－2cos2，x∈R(其中ω0)． (1)求函数f(x)的值域； (2)若函数y＝f(x)的图像与直线y＝－1的两个相邻交点间的距离为，求函数y＝f(x)的单调增区间． 思维启迪　对三角函数的性质的讨论，首先要化成y＝Asin(ωx＋φ)＋k(一角、一次、一函数)的形式；根据(2)中条件可确定ω. 解　(1)f(x)＝sin ωx＋cos ωx＋sin ωx－cos ωx－(cos ωx＋1) ＝2(sin ωx－cos ωx)－1＝2sin(ωx－)－1. 由－1≤sin(ωx－)≤1， 得－3≤2sin(ωx－)－1≤1， 所以函数f(x)的值域为[－3,1]． (2)由题设条件及三角函数图像和性质可知，y＝f(x)的周期为π，所以＝π，即ω＝2. 所以f(x)＝2sin(2x－)－1， 再由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)， 解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)． 所以函数y＝f(x)的单调增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)． 思维升华　三角函数的图像和性质是高考考查的重点，通常先将三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，然后将t＝ωx＋φ视为一个整体，结合y＝sin t的图像求解． 　已知函数f(x)＝sin2x－2sin xcos x＋3cos2x. (1)求函数f(x)的最小正周期； (2)当x∈[，π]时，求函数f(x)的最大值和最小值． 解　f(x)＝sin2x－2sin xcos x＋3cos2x ＝1－sin 2x＋2cos2x＝2＋cos 2x－sin 2x ＝2＋cos(2x＋)． (1)函数f(x)的最小正周期T＝π. (2)因为≤x≤π，所以π≤2x＋≤. 所以≤cos(2x＋)≤1. 所以3≤2＋cos(2x＋)≤2＋，即3≤f(x)≤2＋. 所以函数f(x)的最小值为3，最大值为2＋. 题型二　三角函数和解三角形 例2　(2013·重庆)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2＋b2＋ab＝c2. (1)求C； (2)设cos Acos B＝，＝，求tan α的值． 思维启迪　(1)利用余弦定理求C； (2)由(1)和cos Acos B＝可求得A＋B，代入求tan α. 解　(1)因为a2＋b2＋ab＝c2， 由余弦定理有cos C＝＝＝－. 又0Cπ，