-自動控制原理_胡寿松第5版_课后习题及答案_完整_.doc

2—1 设水位自动控制系统的原理方案如图 1—18 所示，其中 Q1 为水箱的进水流量， Q2 为水箱的用水流量，  H 为水箱中实际水面高度。假定水箱横截面积为 F，希望水面高度 为 H 0 ，与 H 0 对应的水流量为 Q0 ，试列出 水箱的微分方程。 解 当 Q1 ? Q2 ? Q0 时，H ? H 0 ；当 Q1 ≠ Q2 时，水面高度 H 将发生变化，其变化率与流量差 Q1 ? Q2 成 正比，此时有 F d (H ? H 0 ) ? (Q  ? Q ) ? (Q  ? Q ) dt 1 0 2 0 于是得水箱的微分方程为 F dH ? Q ? Q dt 1 2 2—2 设机械系统如图 2—57 所示，其中 xi 为输入位移， x0 为输出位移。试分别列写各系统的微分方程式 及传递函数。 图 2—57 机械系统 解 ①图 2—57(a)：由牛顿第二运动定律，在不计重力时，可得 f1 ( xi ? x0 ) ? f 2 x0 ? mx0 整理得 m d x0 ? ( f ? f ) dx0 ? f dxi dt 2 1 2 dt 1 dt 将上式进行拉氏变换，并注意到运动由静止开始，即初始条件全部为零，可得 ?ms 2 ? ( f  ? f 2 )s?X  0 (s) ?  f1 sX i  (s)  于是传递函数为 X 0 (s) ? X i (s) f1 ms ? f1 ? f 2  ②图 2—57(b)：其上半部弹簧与阻尼器之间，取辅助点 A，并设 A 点位移为 x ，方向朝下；而在其下半部工。 引出点处取为辅助点 B。则由弹簧力与阻尼力平衡的原则，从 A 和 B 两点可以分别列出如下原始方程：  K1 ( xi ? x) ?  f ( x ? x0 )  K 2 x0 ? f ( x ? x0 )  消去中间变量 x，可得系统微分方程  f (K ? K ) dx0 ? K K x  ? K f dxi 1 2 dt 1 2 0 1 dt  对上式取拉氏变换，并计及初始条件为零，得系统传递函数为 X 0 (s) ? X i (s) fK1 s f (K1 ? K 2 )s ? K1 K 2  ③图 2—57(c)：以 x0 的引出点作为辅助点，根据力的平衡原则，可列出如下原始方程： K1 ( xi ? x) ? f ( xi ? x0 ) ? K 2 x0 移项整理得系统微分方程 f dx0 ? (K dt 1  ? K 2  ) x0 ? f dxi dt  ? K1 xi  对上式进行拉氏变换，并注意到运动由静止开始，即 xi (0) ? x0 (0) ? 0 则系统传递函数为 X 0 (s) ? X i (s) fs ? K1 fs ? (K1 ? K 2 )  2-3 试证明图2-58(ａ)的电网络与(b)的机械系统有相同的数学模型。  图 2-58 电网络与机械系统　 1  R 1 1 C s R R 解：（a）：利用运算阻抗法得： Z ? R // ? 1 ? 1 ? 1 1 1 C s R C s ? T s ?  1 R1 ? 1 C1 s 1 1 1 1 1   Z 2 ? R2 ? 1 C2 s ? 1 C2 s ?R2 C2 s ? 1? ? 1 C2 s ?T2 s ? 1?   U (s) Z 1 (T2 s ? 1) C s  (T s ? 1)(T s ? 1) 所以： 0 ? 2 ? 2 ? 1 2 U i (s) Z1 ? Z 2 R1 ? T1 s ? 1 1 C2 s  (T2 s ? 1) R1C2 s ? (T1 s ? 1)(T2 s ? 1)  (b)以 K1 和 f1 之间取辅助点 A，并设 A 点位移为 x ，方向朝下；根据力的平衡原则，可列出如下原始方程： K 2 ( xi ? x0 ) ? f 2 ( xi ? x0 ) ? f1 ( x0 ? x) （1）  K1 x ? f1 ( x0 ? x) （2）  所以 K 2 ( xi ? x0 ) ? f 2 ( xi ? x0 ) ? K1 x 对（3）式两边取微分得 K 2 ( xi ? x0 ) ? f 2 (xi ? x0 ) ? K