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01第一章集合與函数概念
第一章 集合与函数概念
知识网络
第一讲 集合
★知识梳理
一:集合的含义及其关系
1.集合中的元素具有的三个性质:确定性、无序性和互异性;
2.集合的3种表示方法:列举法、描述法、韦恩图;
3.集合中元素与集合的关系:
文字语言 符号语言 属于 不属于 4.常见集合的符号表示
数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 复数集 符号 或
二: 集合间的基本关系
表示
关系 文字语言
符号语言 相等 集合A与集合B中的所有元素都相同 且
子集 A中任意一元素均为B中的元素 或 真子集 A中任意一元素均为B中的元素,且B中至少有一元素不是A的元素 空集 空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集 ,() 三:集合的基本运算
①两个集合的交集:= ;
②两个集合的并集: =;
③设全集是U,集合,则
交 并 补 方法:常用数轴或韦恩图进行集合的交、并、补三种运算.
★重、难点突破
重点:集合元素的特征、集合的三种表示方法、集合的交、并、补三种运算。
难点:正确把握集合元素的特征、进行集合的不同表示方法之间的相互转化,准确进行集合的交、并、补三种运算。
重难点:
1.集合的概念
掌握集合的概念的关键是把握集合元素的三大特性,要特别注意集合中元素的互异性,
在解题过程中最易被忽视,因此要对结果进行检验;
2.集合的表示法
(1)列举法要注意元素的三个特性;(2)描述法要紧紧抓住代表元素以及它所具有的性质,如、、等的差别,如果对集合中代表元素认识不清,将导致求解错误:
问题:已知集合( )
A. ;B. ;C. ;D.
[错解]误以为集合表示椭圆,集合表示直线,由于这直线过椭圆的两个顶点,于是错选B
[正解] C; 显然,,故
(3)Venn图是直观展示集合的很好方法,在解决集合间元素的有关问题和集合的运算时常用Venn图。
3.集合间的关系的几个重要结论
(1)空集是任何集合的子集,即
(2)任何集合都是它本身的子集,即
(3)子集、真子集都有传递性,即若,,则
4.集合的运算性质
(1)交集:①;②;③;④,⑤;
(2)并集:①;②;③;④,⑤;
(3)交、并、补集的关系
①;
②;
★热点考点题型探析
考点一:集合的定义及其关系
题型1:集合元素的基本特征
[例1](2008年江西理)定义集合运算:.设
,则集合的所有元素之和为( )
A.0;B.2;C.3;D.6
[解题思路]根据的定义,让在中逐一取值,让在中逐一取值,在值就是的元素
[解析]:正确解答本题,必需清楚集合中的元素,显然,根据题中定义的集合运算知=,故应选择D
【名师指引】这类将新定义的运算引入集合的问题因为背景公平,所以成为高考的一个热点,这时要充分理解所定义的运算即可,但要特别注意集合元素的互异性。
题型2:集合间的基本关系
[例2].数集与之的关系是( )
A.;B.; C.;D.
[解题思路]可有两种思路:一是将和的元素列举出来,然后进行判断;也可依选择支之间的关系进行判断。
[解析] 从题意看,数集与之间必然有关系,如果A成立,则D就成立,这不可能;
同样,B也不能成立;而如果D成立,则A、B中必有一个成立,这也不可能,所以只能是C
【名师指引】新定义问题是高考的一个热点,解决这类问题的办法就是严格根据题中的定义,逐个进行检验,不方便进行检验的,就设法举反例。
[新题导练]
1.第二十九届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行,若集合A={参加北京奥运会比赛的运动员},集合B={参加北京奥运会比赛的男运动员},集合C={参加北京奥运会比赛的女运动员},则下列关系正确的是( )
A. B. C. D.
[解析] D;因为全集为,而=全集=
2.(2006?山东改编)定义集合运算:,设集合,,则集合的所有元素之和为
[解析]18,根据的定义,得到,故的所有元素之和为18
3.(2007·湖北改编)设和是两个集合,定义集合,如果,,那么等于
[解析] ;因为,,所以
4.研究集合,,之间的关系
[解析] 与,与都无包含关系,而;因为表示
的定义域,故;表示函数的值域,;表示曲线上的点集,可见,,而与,与都无包含关系
考点二:集合的基本运算
[例3] 设集合,
若,求实数的值;
(2)若,求实数的取值范围若,
[解题思路]对于含参数的集合的运算,首先解出不含参数的集合,然后根据已知条件求参数。
[解析]因为,
(1)由知,,从而得,
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