输气管道调峰与仿真分析.ppt

用 左乘(9)两端，得到： 设 ，则上式可展开为： (10) 对应于 ，可以在求解域内找到一条曲线 ，其满足 ,并称之为过点 的特征曲线，而 在 的切线方向称为该点的一个特征方向。根据全导数规则,在特征线 上有： 将此式代入（10）得: 这是一个以?为自变量的常微分方程组，其中第i个方程在特征线上成立，称之为相应于特征线 的特征方程或特征关系。对求解域内任一点 ，矩阵 有n个不同实特征值 ，故过该点有n条不同特征线 和n个不同的特征方向，相应地可建立n个特征方程。 以上导出的特征线和特征方程是特征线法的基础，正因为它们是从矩阵A的特征值和特征向量出发导出的，故由此建立的算法称为特征线法。 6.2 瞬变流问题的特征线和特征方程 为了导出输气管道瞬变流问题的特征线和特征方程，需要将输气管段的基本微分方程组化成类似于式（8）或（9）的形式。为实现这一转换，先对基本微分方程组进行初步变形。 当管道内径不变时，连续性方程成为： （11） 将动量方程展开并整理得： 将（11）代入上式得： （12） 能量方程化为： 将（11）代入上式并进一步整理得： 将（12）代入上式得： （13） 以上式（11）～（13）即为经初步变形后的基本微分方程组，其中含有5个未知函数 。在用特征线法求解该方程组时拟选择 作为基本未知函数，因此需进一步利用气体状态方程 和焓方程 消去方程组中的ρ和h。经过一系列复杂的热力学推导和方程组同解变换，最后可得到形式上类似于 的微分方程组： 注意：此方程组是对原来的三个基本方程进行组合后得到的，已分不清连续性方程、动量方程和能量方程了，但在整体上仍然与原来的基本微分方程组等价。 令 ，则该方程组的特征矩阵为： 由线性代数可知，A的特征值 必须满足： 将此行列式展开得到一个λ的三次方程： 由此可以解出A的三个特征值： 对每个特征值 可求出相应的左特征向量： 由上述特征方程一般形式可建立双曲型方程组的特征方程。 其中as为气体管流中的声速： 三条特征线的物理意义：在输气管瞬变过程的距离-时间域中考虑点M，三条特征线β1、β2和β3的切线斜率分别为： 其中气体流速w的正负取决于流动方向，一般以x轴正方向为基准，流动方向与x轴正向相同时为正，反之则流速为负。由于输气管中流速远低于音速，即 ，故总有 这表明β1在M点是向左下方延伸的，而β2在M点是右下方延伸的，故分别称为左特征线和右特征线。 由于在一般情况下w可正可负，故第三条特征线β3在M点的切线斜率的正负取决于气流方向，当w0时，β3在M点向左下方延伸。此外，由于 ，故总有 , 这表明在过M点的三条特征线中，β3在M点的切线最陡，因而当三条特征线从M点向下延伸时，β3总夹在β1和β2之间，故称β3为中特性线。 设气体流动方向与x轴正向相同。设三条特征线交点（M点）坐标为 ，在 时刻，在所研究管段中距离为 的点处发生一扰动，则该扰动沿气体流动方向的传播速度为 ，而逆气体流动方向的传播速度为 。可见，该扰动沿两个方向传播的速度分别为 和 的绝对值，这意味着β1在M点以上的部分是该扰动沿流动方向传播过程（称为正向波）在x-τ域中的轨迹，其反映了该扰动产生的正向波的波前（峰）在管段中的位置随时间的变化；而β2则是由该扰动