06-07-3高數（B）期末参考答案及评分标准.doc

06-07-3高数B期末试卷参考答案及评分标准（A） 一。填空题(本题共10小题，每小题3分，满分30分) 1．已知曲面上一点处的法线垂直于平面，则，，； 2．已知三角形的顶点坐标为，则的面积为； 3． 曲线在点处的法平面为，则原点到的距离为； 4．函数在点处沿方向的方向导数等于； 5.交换积分次序； 6．设，则； 7. 设正向闭曲线：，则曲线积分； 8.设，则； 9．设，其以为周期的级数的和函数记为，则； 10．使二重积分的值达到最大的平面闭区域为 . 二．(本题共2小题，每小题9分，满分18分) 11．计算二重积分，其中为由及围成的区域. 解(4+3+2分) 12．计算三重积分，其中是平面上的直线以及围成的平面有界区域绕轴旋转一周得到的空间区域. 解 (5+2+2分) 三．(本题共2小题，每小题8分，满分16分) 13．计算曲线积分，其中为圆锥螺线 解 (4+2+2分) 14．求全微分方程的通解. 解 ，该微分方程是一个全微分方程. (1分) 采用凑微分法 , ,(5分) 微分方程的通解为 .(2分) 四．（15）(本题满分9分) 求函数在圆周上的最大值和最小值. 解 令 ,(2分) 解方程组,得三组解 .(3分)显然不是在圆周上的极值点,因此不能在该点取得最大值和最小值. (1分)又在圆周上必有最大值和最小值,且只能在 和上取得.故， .(3分) 五．（16）(本题满分10分) 已知流体的流速函数 ，求该流体流过由上半球面与锥面 所围立体表面的外侧的流量. 解 (2分) (3+3+2分) 六．（17）(本题满分9分) 计算曲线积分， 其中是曲线上从点到点的部分. 解 记点，补上两线段，以为边界的区域记为，(1分)由Green公式得 (3分) (3分) (2分) 七．（18）(本题满分8分) 设函数，且，利用二重积分证明不等式： 证明 所证不等式等价于不等式：，(2分)而 (2分) 其中 (4分) 学号 姓名 密 封 线