07_2數学分析（一）试题A及答案.doc

2007 ～2008 学年第二学期 《数学分析（一）》课程考试试卷(A卷) (闭卷) 院(系) _经济学院___专业班级__________学号_________ 姓名__________ 考试日期: 2008-6-22 考试时间: 8：30—11：00 题号 一 二 三 四 五 六 总分 得分 　 　 　 　 　 　 　 　 得 分 评卷人 填空题（每小题3分，共30分） 1. _3___类似例10.3.7, page 90. 2. .课堂例题 3. =_____2___.例11.2.9, page 126 4. 曲线在点处的曲率=, 曲率半径= . Prob.16(1), page 332(上册). 5. 设收敛，请在下列横线处添加一条件，使得. 在上一致连续（或存在有限极限） 例8.2.9, page 379 或Prob.11, page 369(上册). 6. 某产品在生产99件以后，估计生产的经验曲线是，其中是生产第件产品所需工时数. 则接着生产的301件产品所需工时数=__40__小时. 7. 设则其闭包= Prob.4(3), page 120. 8. 已知函数， 则的Fourier级数为；该级数的和函数是 Prob.6(3), page 414. 9.幂级数的收敛域是，其和函数是. 课堂例题 10. 在区间[0, 1]上Riemann函数可积，而Dirichlet函数不可积，对吗？对. 例7.1.2, page 284, and例7.1.1, page 276 (上册). 得 分 评卷人 二. 举例说明下列命题是错误的(每小题3分，共15分. 需要简单说明) 1．任意个开集的交集是开集. 针对P.115倒数第5行的话而作课堂补充例题 ,而为闭集. 2．一个任意阶可导的函数的Taylor级数一定收敛于函数本身. 例10.4.1，page 95. 在（－，+）上收敛于和函数=0; 当时， 3. 若，则两级数与有相同的收敛性. 课堂例题 、，前者收敛，后者发散；其通项等价. 4. 若在区间上可导，且无定义，则为的奇异点，必为无界函数反常积分. 课堂例题 的不是奇异点，因为. 5. 设在区间上. 若有连续导函数，且在上但并非一致收敛，则必有 see the middle part, page 79. ，D=[0,1], 其极限函数；，其极限函数，但并非一致收敛；有. 得 分 评卷人 三. 计算题（每小题6分，共18分） 1. 已知，求. Prob.6(5), page 368(上册). 解： 令，(2分)则原式(4分).(6分 2. 求极限 .（若极限存在，求出其值；否则，请阐明理由） 课堂例题 解： 因为=（3分） , （5分） 与k有关，所以原极限不存在. （6分） （直接取曲线也对） 3．设 求积分 Prob.13, page 312(上册，难度降低). 解： 令，则原式（2分） （4分） （6分） （） 得 分 评卷人 四. 解答题（第1题8分，共12分） 1．已知. (1) 求的Fourier 级数，并求其和函数；(2)利用Parseval等式求的和. Prob.5, page 435. 解：(1)所给函数为偶函数，所以（1分） （4分）或 （5分） (2) 因为在可积且平方可积，由Parseval等式， . 所以. (8分) 2. 求幂级数的和函数（需指明收敛域）. Prob.5(2), page 107. 解：由级数Cauchy乘积，原式=(2分). (4分) 得 分 评卷人 五. 以下两题中任选一题作答 (7分；若都做，取较高分者) 1.设函数在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内大于零，并满足(为常数). 进一步，假设曲线与直线和所围的图形的面积为2. (1) 求函数； (2) 当为何值时，图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积最小？Prob.12, 332(上册). 2. 讨论反常积分的敛散性. Prob.9(3), page 381(上册). . 解：1.(1)由已知， ，所以， （2分） 对两边关于积分，有 ，从而，于是，.（4分） (2) . 令，得且此时，所以在时旋转体的体积取得最小值.（7分） 2. .(1分) 由，可知当时积分收敛，在其余情况下发散.（3分） 当时积分发散.（4分） 当时,因为，递减且,由Dirich