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07_2數学分析(一)试题A及答案
2007 ~2008 学年第二学期
《数学分析(一)》课程考试试卷(A卷)
(闭卷)
院(系) _经济学院___专业班级__________学号_________ 姓名__________
考试日期: 2008-6-22 考试时间: 8:30—11:00
题号 一 二 三 四 五 六 总分 得分
得 分 评卷人 填空题(每小题3分,共30分)
1. _3___类似例10.3.7, page 90. 2. .课堂例题
3. =_____2___.例11.2.9, page 126
4. 曲线在点处的曲率=, 曲率半径= .
Prob.16(1), page 332(上册).
5. 设收敛,请在下列横线处添加一条件,使得. 在上一致连续(或存在有限极限)
例8.2.9, page 379 或Prob.11, page 369(上册).
6. 某产品在生产99件以后,估计生产的经验曲线是,其中是生产第件产品所需工时数. 则接着生产的301件产品所需工时数=__40__小时.
7. 设则其闭包=
Prob.4(3), page 120.
8. 已知函数, 则的Fourier级数为;该级数的和函数是
Prob.6(3), page 414.
9.幂级数的收敛域是,其和函数是.
课堂例题
10. 在区间[0, 1]上Riemann函数可积,而Dirichlet函数不可积,对吗?对.
例7.1.2, page 284, and例7.1.1, page 276 (上册).
得 分 评卷人 二. 举例说明下列命题是错误的(每小题3分,共15分. 需要简单说明)
1.任意个开集的交集是开集.
针对P.115倒数第5行的话而作课堂补充例题
,而为闭集.
2.一个任意阶可导的函数的Taylor级数一定收敛于函数本身.
例10.4.1,page 95.
在(-,+)上收敛于和函数=0; 当时,
3. 若,则两级数与有相同的收敛性.
课堂例题
、,前者收敛,后者发散;其通项等价.
4. 若在区间上可导,且无定义,则为的奇异点,必为无界函数反常积分.
课堂例题
的不是奇异点,因为.
5. 设在区间上. 若有连续导函数,且在上但并非一致收敛,则必有
see the middle part, page 79.
,D=[0,1], 其极限函数;,其极限函数,但并非一致收敛;有.
得 分 评卷人 三. 计算题(每小题6分,共18分)
1. 已知,求.
Prob.6(5), page 368(上册).
解: 令,(2分)则原式(4分).(6分
2. 求极限 .(若极限存在,求出其值;否则,请阐明理由)
课堂例题
解: 因为=(3分) , (5分) 与k有关,所以原极限不存在. (6分) (直接取曲线也对)
3.设 求积分
Prob.13, page 312(上册,难度降低).
解: 令,则原式(2分) (4分) (6分) ()
得 分 评卷人 四. 解答题(第1题8分,共12分)
1.已知. (1) 求的Fourier 级数,并求其和函数;(2)利用Parseval等式求的和. Prob.5, page 435.
解:(1)所给函数为偶函数,所以(1分)
(4分)或
(5分)
(2) 因为在可积且平方可积,由Parseval等式,
.
所以. (8分)
2. 求幂级数的和函数(需指明收敛域).
Prob.5(2), page 107.
解:由级数Cauchy乘积,原式=(2分). (4分)
得 分 评卷人 五. 以下两题中任选一题作答 (7分;若都做,取较高分者)
1.设函数在闭区间[0,1]上连续,在开区间(0,1)内大于零,并满足(为常数). 进一步,假设曲线与直线和所围的图形的面积为2.
(1) 求函数;
(2) 当为何值时,图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积最小?Prob.12, 332(上册).
2. 讨论反常积分的敛散性.
Prob.9(3), page 381(上册).
.
解:1.(1)由已知, ,所以, (2分)
对两边关于积分,有
,从而,于是,.(4分)
(2) . 令,得且此时,所以在时旋转体的体积取得最小值.(7分)
2. .(1分)
由,可知当时积分收敛,在其余情况下发散.(3分) 当时积分发散.(4分)
当时,因为,递减且,由Dirich
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