08-09-3高等數学B期末考试试卷（A）参考答案及评分标准.doc

08-09-3高数B期末试卷（A）参考答案及评分标准09.6.8 一.填空题(本题共9小题，每小题4分，满分36分) 1. 曲面在点处的法线方程是； 2. 设，则梯度； 3. 已知，则在方向的投影； 4. 设闭曲线，取逆时针方向，则曲线积分的值是； 5. 设函数具有一阶连续偏导数，则曲线积分与路径无关的充分必要条件是； 6. 二重积分的值是； 7. 设为球面：，则曲面积分的值是； 8. 设是折线，则曲线积分的值是； 9.取（注：答案不唯一），可使得级数收敛，且级数发散. 二. 计算下列各题(本题共4小题，满分30分) 10．（本小题满分7分）设，其中具有连续的二阶偏导数，具有连续导数，计算. 解 ，（3分）（4分） 11．（本小题满分7分）计算，其中. 解（1+1+3+2分） 12．（本小题满分8分）计算二次积分. 解，（3+2+3分） 13. （本小题满分8分）求密度均匀分布的立体 的质心坐标. 解 （1分） （1+1+2+2+1分） 三（14）．（本题满分7分）试求过点且与轴相交，又与直线垂直的直线方程. 解 设为所求直线的方程，（1分）由于直线与轴相交，所以三个向量，及共面，从而，即 （1），（2分） 又由于与互相垂直，得，即 （2）（2分）联立（1），（2）解得，，所求直线的方程为（2分） 四（15）。（本题满分7分）计算，其中是柱面被锥面 和平面所截下的部分. 解 （2分） （2+2+1分） 五（16）. （本题满分7分）计算 ，其中为曲线 ，方向沿增大的方向. 解 记，由公式得 （2+1+3+1分） 六（17）（本题满分7分）计算，其中为被所截部分，取上侧. 解 补一个面，取下侧，由和所围成的区域记为，由公式得 （3+2+1+1分） 七（18）（本题满分6分）证明不等式 ，，. 证 设，在区域的边界上恒为，而在内部恒为正，故的最大值只能在区域内部达到，（2分）令， ，在区域内求驻点，得（1）及（2），（2分）这表明在区域内的最大值点应满足方程（1）（2），然而在（1）（2）所确定的点上，所以 ，，.（2分）  共 3页 第 1 页