0902012039實验报告之迭代方程求解.doc

迭代 0902012039 冯业龙 2010.12 探索实验 迭代——方程求解 实验解读： 通过实验可以初步了解迭代法的含义，知道什么是迭代法，研究迭代数列的收敛性，通过迭代求解线性及非线性方程组的解。 迭代法求解线性方程组的思想与求根的思想相类似，而且类似于单变量的方程及线性方程组的求解，用迭代法可以求更加复杂的非线性方程组的解。 要了解迭代的内涵，必然要知道迭代到底是怎样的一种方法，下面给出迭代的具体内容： ；1.迭代序列 给定实数域上光滑的实值函数f(x)以及初值x0,定义数列 Xn+1 = F(xn), n = 0,1,2,3、、、 {x n}称为f(x)的一个迭代数列。 2；方程求根 给定迭代函数f(x)以及一个初始值x0，利用式Xn+1 = F(xn), n = 0,1,2,3、、、迭代得到数列{xn}，如果数列xn收敛于某个x*,则有 X* = F(x*) 即 x*是方程X = F(x)的解，故用迭代法求方程g(x) = 0的解。将方程g(x) = 0改写为等价方程 X = F(x)，然后选取一初值利用Xn+1 = F(xn), n = 0,1,2,3、、、进行迭代，迭代数列xn收敛的极限就是方程g(x) = 0的解。 3；线性方程组的迭代求解 给定一个n元线性方程组 ax+...+ax= b { ... ax+...+ax= b n 写成矩阵的形式 Ax = b ;当矩阵A的行列式非零时方程组有唯一解，假设我们可以将Ax = b改写成 x = Mx + f 其中m是n阶矩阵，f = (f,...f)是n维列向量，任意给定初始向量x,由迭代 x = M x + f，n= 0,1,2、、、 确定向量序列x,如果x收敛到x*，则有 x* = Mx* + f 即x*是方程组Ax = b的解 4；非线性方程组的迭代求解 给定非线性方程组 f(x,...,x)=0 { ... f(x,...,x)=0 将其改写成等价的方程组 x= g(x,...,x) { ... 或x = g(x),其中x为n维列向量 x= g(x,...,x) (x,...,x)， g(x)为n维列向量函数，由上式即确定了一种迭代格式 x=g(x),n = 0,1,2 、、、以上交代了迭代的具体内容。本实验先利用Mathematica求解线性及非线性方程(组),探索不动点的性质。 二.实验思路： 迭代序列 （1）对函数的迭代过程，可以形象地用“蜘蛛网”图像来直观的显示。运行Mathematica程序，对函数f(x)=( 25x-85 )/(x+3),f(x) = x^3-3x^2+3，f(x)=(-x+15)/(x+1);的蜘蛛网图进行观察，改变初值及参数，观察结果。（2）给定初值1及迭代函数f(x)=x/2+1/x,迭代n次产生相应的序列，运行Mathematica程序，判断序列极限。（3）给定各种初值，分别就f(x)=-2x+1、f(x)=-x+1、f(x)=2x+1做迭代序列，观察序列的通项及判断其收敛性。对以上函数不动点的性质，可以从图像上对应点处曲线的斜率来观察。 方程求根 （1）利用迭代序列求方程g(x)=x-2x+1的根，运行Mathematica程序，观察结果。（2）改变初值并运行上述程序，观察结果，如-0.5、0、0.5、1，观察结果。（3）利用迭代序列求方程g(x)=x+2x+1的根，对以上两个方程观察迭代格式，比较迭代方法。 线性方程组的迭代求解 （1）对给定的矩阵M、数组f和初始向量x,由x = Mx + f，n= 0,1,2、、、可以得出迭代结果。（2）改变初值，运行上述程序，观察结果。（3）矩阵M的特征值与迭代序列收敛性的关系。 三.实验过程及结果： 1 .迭代序列 （1）.f(x)=( 25x-85 )/(x+3) Clear[f] f[x