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10.10與柱体锥体台体球有关的性质
本资料来源于《七彩教育网》
10.10与柱体、锥体、台体、球有关的性质
【知识网络】
1、柱体、锥体、台体、球的有关性质;
2、展开图及内接、外接问题;
3、不规则的图形的有关计算。
【典型例题】
例1:(1)一个棱柱是正四棱柱的条件是 ( )A、底面是正方形,有两个侧面是矩形
B、底面是正方形,有两个侧面垂直于底面
C、底面是菱形,且有一个顶点处的三条棱两两垂直
D、每个侧面都是全等矩形的四棱柱
答案:D。解析:正四棱柱的条件是底面为正方形的直棱柱。
(2)底面是正三角形,且每个侧面是等腰三角形的三棱锥是 ( )
A、一定是正三棱锥 B、一定是正四面体 C、不是斜三棱锥 D、可能是斜三棱锥
答案:D。解析:只须考察一个正三角形绕其一边抬起后所构成的三棱锥就知道
(3)在棱长为1的正方体ABCD——A1B1C1D1中,若G、E分别为BB1,C1D1的中点,点F是正方形ADD1A1的中心,则四边形BGEF在正方体六个面上的射影图形面积的最大值为________。
答案:。解析:考察在三组对面上的投影即可。
(4)棱锥的高为16cm,底面积为512cm2,平行于底面的截面积为50cm2,则截面与底
面的距离为
答案: 11cm 。解析:。
(5)把半径为r的四只小球全部放入一个大球内,则大球半径的最小值为__________。
答案:()r?。解析:四只小球的球心组成正四面体形状,∴,即。
例2:已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形,两条侧棱长为, 试求第三条侧棱长的取值范围.
答案:: 如图, 四面体ABCD中,AB=BC=CA=1,
DA=DC=, 只有棱DB的长x是可变的. 在三角形
ACD中, M为AC的中点,
MD=. MB=.由MF-MBBDMD+MB, (MF=MD)
得:
例3:如图在三棱锥A—BCD中,平面ABC和平面BCD都是边长为的等边三角形,且,若从AB的中点M沿着三棱锥表面到达CD的中点N,求最短路线.
解析: 有四种侧面展开形式:(1)以等边为主,剪开AB、BC、CD、AD,得正和等腰构成的平面图.此时相对短的路线是线段MN.
延长DC,与过M且与AC平行的直线相交于点P,PM与BC相交于Q点.∵M为AB的中点,∴Q为BC的中点,.
在中,.
在中,.
在中,.
于是.
(2)以侧面ABD为主,沿BD把两个面ABD和BDC展成一个平面图形.与(1)类似可以推得
.
(3)以侧面ABC为主,沿BC把两个面ABC和BDC展成一个平面图形,构成菱形ABDC,
MN∥BD,MN=BD,. ∵,∴.
(4)以侧面ACD为主,沿AD把两个等腰直角三角形ACD
和ABD展成一个平面图形,构成正方形ABDC,此时.
总之,从M到N的最短路线为.
例4:如图,正三棱柱ABC—A1B1C1中,D是BC的中点,AB=a.
(Ⅰ)求证:直线A1D⊥B1C1;
(Ⅱ)求点D到平面ACC1的距离;
(Ⅲ)判断A1B与平面ADC的位置关系, 并证明你的结论.
答案:(Ⅰ)证法一:∵点D是正△ABC中BC边的中点,∴AD⊥BC,
又A1A⊥底面ABC,∴A1D⊥BC ,∵BC∥B1C1,∴A1D⊥B1C1.
证法二:连结A1C1,则A1C=A1B. ∵点D是正△A1CB的底边中BC的中点,
∴A1D⊥BC ,∵BC∥B1C1,∴A1D⊥B1C1.
(Ⅱ)解法一:作DE⊥AC于E, ∵平面ACC1⊥平面ABC,
∴DE⊥平面ACC1于E,即DE的长为点D到平面ACC1的 距离. 在Rt△ADC中,
AC=2CD=
∴所求的距离
解法二:设点D到平面ACC1的距离为,
∵体积
即点D到平面ACC1的距离为.
(Ⅲ)答:直线A1B//平面ADC1,证明如下:
证法一:连结A1C交AC1于F,则F为A1C的中点,∵D是BC的中点,∴DF∥A1B,
又DF 平面ADC1,A1B平面ADC1,∴A1B∥平面ADC1.
证法二:取C1B1的中点D1,则AD∥A1D1,C1D∥D1B,
∴AD∥平面A1D1B,且C1D∥平面A1D1B,
∴平面ADC1∥平面A1D1B,∵A1B平面A1D1B,∴A1B∥平面ADC1.
【课内练习】
1.关于“斜二测”直观图的画法,如下说法正确的是 ( )
A.等腰三角形的直观图仍为等腰三角形 B.梯形的直观图可能不是梯形
C.正方形的直观
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