[依分布收敛与中心极限定理.docVIP

第四章????????? 极限定理 ? §1 依分布收敛与中心极限定理 ? 一、分布函数弱收敛 二、性质 三、中心极限定理 ? 概率论早期发展的目的在于揭示由于大量随机因素产生影响而呈现的规律性. 贝努里首先认识到研究无穷随机试验序列的重要性，并建立了概率论的第一个极限定理——大数定律，清楚地刻画了事件的概率与它发生的频率之间的关系. 棣莫佛和拉普拉斯提出将观察的误差看作大量独立微小误差的累加，证明了观察误差的分布一定渐近正态——中心极限定理. 随后，出现了许多各种意义下的极限定理. 这些结果和研究方法对概率论与数理统计及其应用的许多领域有着重大影响. 本章着重介绍上述大数定律和中心极限定理等有关内容. ? §1 依分布收敛与中心极限定理 ? 我们知道，如果ξ是概率空间 (Ω, F, P)上的随机变量，那么它的分布函数F(x)=P(ξ)刻画了它的全部概率性质. 因此，对随机变量序列的研究就必须首先对相应的分布函数序列作深入研究. ? 一、分布函数弱收敛 定义1 设F是一分布函数，{}是一列分布函数，如果对F的每个连续点xR，都有(x)→F(x) (n→∞)，则称弱收敛(weak convergence)于F，记作F. 设ξ是一随机变量，{}是一列随机变量，如果的分布函数列弱收敛于ξ的分布函数，则称依分布收敛(convergence in distribution)于ξ，记作ξ. 注1??????????? 分布函数逐点收敛的极限函数未必是分布函数. 例如, (x)= 该分布函数列处处收敛于0, 但G(x)0不是分布函数. 因此对一般的分布函数列，要它们逐点收敛于分布函数，要求是过高了，不得不如定义1加上限制. 注2 定义1中的限制条件“对F的每个连续点x，(x) →F(x)”是足够宽的，例如, (x)= F(x)= 除在0点以外((0)=0F(0)=1)，逐点收敛于F(x)，而0点刚好是F(x) 的唯一不连续点，因此按定义1，F. *注3 由于分布函数F的不连续点最多有可数个，F 意味着在R的一个稠密子集上处处收敛于F（D在R上稠密，是指对任意R, 在的任意小邻域内，一定有xD）. 下面给出海莱(Helly)定理，它们对分布函数列弱收敛性的研究起着重要作用. 定理1（海莱第一定理） 设{}是一列分布函数，那么存在一个单调不减右连续的函数F (不一定是分布函数)，0, xR, 和一子列{}，使得对F的每个连续点x，(x)F(x) (k→+∞). 证 令表示全体有理数. 0意味着{}是有界数列，因此可以找到一个收敛子列{}, 记. 接着考虑有界数列{}，存在它的一个收敛子列{}，记. 如此继续，得到 {}{}, , k. 现在考虑对角线序列{}. 显然，=对所有正整数k都成立. 另外，由于单调不减，如果，有. 因此G(r)是定义在有理数上的有界不减函数. 定义 x∈R. (1) 这个函数在有理数上与G(x)相等，它显然也是有界不减的. 下面证明，对F的每个连续点x, =F(x). (2) 任意给定0和F的连续点x，选取h 0，使得 F(x+h)--F(x--h) /2. 根据有理数的稠密性，存在有理数满足 x-h x+h, 从而 F(x-h) . (3) 另外，存在N () 使得当n时, , . (4) 进而由和F的单调性，当n时， , . 综合得到 |. (5) (2)式得证. 由F的定义(1)，在它的不连续点上是右连续的. 定理1证毕. 定理2 （海莱第二定理） 设F是一分布函数，{}是一列分布函数，F. 如果g(x)是R上的有界连续函数，则 . (6) 证 因为g是有界函数，必存在c 0使得 |g (x) | c, x∈R. 因为F的所有连续点构成R上的稠密集，又由F()=0, F()=1，故对于任意给定的0, 可以选取a0使得±a是F的连续点，并且 F(-a)/12c, 1-F(a)/12c. (7) 由于F，存在, 使得当n时, |(-a)-F(-a)|/12c, |1-(a)-(1-F(a))|/12c, (8) 这样我们有 | [ |(-a)-F(-a)|+2F(-a)+|1-(a)-(1-F(a))|+2(1-F(a))]/2. (9) 下面考虑|. 由于g(x)在闭区间[-a, a]上一致连续，可以选取, 使得所有是F的连续点，且|g(x)--g()|/8. 于是 |=| + +| =.