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第五章 连续系统的s域分析 频域分析以虚指数信号为基本信号，任意信号可分解为众多不同频率的虚指数分量之和。使响应的求解得到简化。物理意义清楚。但也有不足： （1）有些重要信号不存在傅里叶变换，如 （2）对于给定初始状态的系统难于利用频域分析。 在这一章将通过把频域中的傅里叶变换推广到复频域来解决这些问题。 本章引入复频率 s = σ+jω,以复指数函数为基本信号，任意信号可分解为不同复频率的复指数分量之和。这里用于系统分析的独立变量是复频率 s ，故称为s域分析。所采用的数学工具为拉普拉斯变换。 把拉氏变换用于系统分析，其功绩首推英国工程师heaviside。1899年其在解决电气工程中出现的微分方程时，首先发明了“算子法”。在实际应用中得到欢迎，但许多数学家认为缺乏严密的论证而极力反对，Heaviside追随者并未止步，最后在拉普拉斯著作中找到依据，取名为拉氏变换。三四十年代在电路分析、网络理论等方面有广泛的应用，直到五十年代奇异函数理论的进一步完善，给时域法带来生机，形成现在变换法与新时域法并驾齐驱的局面。 （Laplace.pierre-simon，1749生于诺曼底的博蒙昴诺日，1827年死于巴黎。法国数学家天文学家。1785当于法国科学院院士。研究天体力学和物理学，天体力学的奠基人，分析概率论的创始人是应用数学的先驱。认为数学只是一种解决问题的工具，但在运用数学时创造和发展了许多新的数学方法。） §5.1 拉普拉斯变换 一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换 1、正变换 有些函数不满足绝对可积条件，求解傅里叶变换困难，其原因是当时衰减太慢的缘故，为此，可用一衰减因子 (s为实常数）乘信号f(t) ，适当选取s的值，使乘积信号当t?∞时满足绝对可积 ，从而使的傅里叶变换存在。 例如 不满足绝对可积条件，若乘则 所以只要可使满足绝对可积，其傅里叶变换为 ? 令s = s + jw,具有频率的量纲，称为复频率，则 称为f(t) 的双边拉普拉斯变换（或象函数），实质是的傅里叶变换 L 2、反变换 令 称为F(S) 的双边拉普拉斯反变换（或象原函数），也是一一对应 二、单边拉氏变换 通常遇到的信号都有初始时刻，不妨设其初始时刻为坐标原点。这样，t0时，f(t)=0。从而拉氏变换式写为 称为单边拉氏变换，简称拉氏变换，简记为F(s)=￡{f(t)}，采用0-系统，是考虑奇异信号。 或f(t)=￡ -1[F(s)] 由此，对双边信号，有两种变换，对单边信号是一种变换 三、复频域、复平面 1、傅里叶变换的基本信号 其基本信号为，它表征一个等幅余弦信号，只有一个变量ω，因此可用数轴上的一个点表示，而F(ω)则表示了某一频率信号的相对幅值和相位，频率特性可用二维平面表达。 2、拉氏变换的基本信号 其基本信号为它表征一个变幅余弦信号，F（S）物理意义不明确，只是一种数学表示而已，但有利于分析系统。F（S）中有两个变量，只能用平面中的点表示，此平面称为复平面或S平面，为与傅里叶变换中的频率ω相区别，S称复频率，信号的频率特性用三维空间表示，一般不再画图。 下面讨论复平面内各点S与基本信号的关系：如图 任何实信号可用一对共轭复数表示，所以在复平面上，与必成对出现。 分析结论：拉氏变换是把信号分解为无穷多个复频率S的复指数函数，傅里叶变换是把信号分解为无穷多个频率ω的复指数函数，可看作是拉氏变换的特例，即S=jω情况，前提是信号满足狄里赫利条件。 3、拉氏变换的零、极点 时域信号f(t)经拉氏变换后是复变量S的多项式之比，即 其中，a、b为有理数——有理性 可分解为的形式 当S=Zi，则F(S)=0,称Zi为信号f(t)的拉氏变换的零点 当S=Pj，则F(S)=∞,称Pj为信号f(t)的拉氏变换的极点 四、信号拉氏变换的收敛域 只有选择适当的σ值才能使积分收敛，信号f(t)的拉普拉斯变换存在。 使 f(t)拉氏变换存在σ的取值范围称为Fb(s)的收敛域。（ROC），其边界称为收敛轴，用σ0表示，也称为收敛横坐标。求收敛域有2种做法： 1、时域法，判据成立的σ的取值范围 2、复频域：由拉氏变换的极点判断 分几种情况讨论： 1）f(t)为持续时间有限的信号 任意取值，ROC为整个复平面 例5.1-1 求的拉普拉斯变换及收敛域为 解：￡{δ(t)} ￡{δ/(t)} 2）f(t)为右半时间信号，即因果信号 例 时域： 复频域：，其拉氏变换为又极点只要σ大于极点的实部即可，所以因果信号的ROC为F(S)最右边极点的右半平面 3）f(t)为左半时间信号，即反因果信号 例 时域： 复频域：极点只要σ小于极点的实部即可，所以反因果信号的ROC为F(S)最左边极点的左半平面 例5.1-2 已知信号的拉普拉斯变换为，求其R