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信号处理中的奇异值分解 学生姓名： 学号： 专业： 指导老师： 学院： 完成日期： 目录 摘要 2 第一章 奇异值分解的概念 3 第二章 奇异值分解的步骤： 4 第三章 信号处理中奇异值分解的应用 4 第四章 结语 6 参考文献： 7 摘要 奇异值分解(Singular value decomposition，SVD)是一种正交变换，对于任一个行或列线性相关的矩阵，通过对其左、右分别相乘一个正交矩阵进行变换，可以将原矩阵转化为一个对角阵，而得到的奇异值个数又反映了原矩阵中独立行(列)矢量的个数。 奇异值分解是线性代数中一种重要的矩阵分解，在信号处理的很多领域有重要应用。本文主要介绍的奇异分解的基本理论以及在信号处理上的应用。 关键字： 奇异值分解 SVD 信号处理 正文 第一章 奇异值分解的概念 奇异值分解(Singular value decomposition，SVD)是一种正交变换，对于任一个行或列线性相关的矩阵，通过对其左、右分别相乘一个正交矩阵进行变换，可以将原矩阵转化为一个对角阵，而得到的奇异值个数又反映了原矩阵中独立行(列)矢量的个数。 奇异值分解是线性代数中一种重要的矩阵分解，在信号处理、统计学等领域有重要应用。 首先， 设A为m*n阶矩阵，nsd特征值的非负平方根叫作A的奇异值。记为(A)。则HA)^(1/2)。 奇异值分解： 设A为m*n阶复矩阵，则存在m阶酉阵U和n阶酉阵V，使得: A = U*S*V’ 其中S=diag(σi,σ2,……,σr)，σi0 (i=1,…,r)，r=rank(A)。 其推论为： 设A为m*n阶实矩阵，则存在m阶正交阵U和n阶正交阵V， 使得 A = U*S*V’ 其中S=diag(σi,σ2,……,σr)，σi0 (i=1,…,r)， r=rank(A)。 我们可以看到奇异值分解非常有用，对于矩阵A(m*n)，存在U(m*m)，V(n*n)，S(m*n)，满足A = U*S*V’。U和V中分别是A的奇异向量，而S是A的奇异值。AA的正交单位特征向量组成U，特征值组成SS，AA的正交单位特征向量组成V，特征值（与AA相同）组成SS。因此，奇异值分解和特征值问题紧密联系。 其次奇异值分解提供了一些关于A的信息，例如非零奇异值的数目（S的阶数）和A的秩相同，一旦秩r确定，那么U的前r列构成了A的列向量空间的正交基。关于奇异值分解中当考虑的对象是实矩阵时: S对角元的平方恰为AA特征值的说明. (对复矩阵类似可得) 第二章 奇异值分解的步骤： 1、求AHA或AAH 2、求AHA或AAH的特征值及特征向量x1,x2,...xr， r个特征值组成 3、 U=(x1,x2,...xr)地 4、V1=AU1Δr-1，取V2与其正交，则V=(V1，V2) 奇异值的计算是一个难题，是一个O(N^3)的算法。在单机的情况下当然是没问题的，matlab在一秒钟内就可以算出1000 * 1000的矩阵的所有奇异值，但是当矩阵的规模增长的时候，计算的复杂度呈3次方增长，就需要并行计算参与了。 其实SVD还是可以用并行的方式去实现的，在解大规模的矩阵的时候，一般使用迭代的方法，当矩阵的规模很大（比如说上亿）的时候，迭代的次数也可能会上亿次。 第三章 信号处理中奇异值分解的应用 此方法近年来在数据降维和压缩[1,2] ,滤波器设网络节点估计 [3]、小波变换结果的后续处理 [4,5]等很多领域都获得了重要的应用。 在滤波器设计方面，VOZALIS等 [6]将SVD用于协同滤波，他们的研究结果表明，SVD提高了协同滤波过程中预测的质量和精度。 而在消噪方面，LEHTOLA等利用SVD和数学形态学相结合， 对心电信号(Electrocardiogram，ECG)进行处理，消除了噪声的影响，提高了心电图诊断的准确性。同时奇异值分解已用于从孕妇皮肤测量信号中提取胎儿心电信号。 在另一些研究中SVD则被利用来实现特征提取和弱信号分离，如LIU等 [7]利用