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(2016广东高考理数大二轮专项训练专题82数形结合思想含答案
2016广东高考理数大二轮 专项训练
第2讲 数形结合思想
1.数形结合的数学思想:包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面,其应用大致可以分为两种情形:一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系,即以形作为手段,数作为目的,比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质;二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性,即以数作为手段,形作为目的,如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.
2.运用数形结合思想分析解决问题时,要遵循三个原则:
(1)等价性原则.在数形结合时,代数性质和几何性质的转换必须是等价的,否则解题将会出现漏洞.有时,由于图形的局限性,不能完整的表现数的一般性,这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明,要注意其带来的负面效应.
(2)双方性原则.既要进行几何直观分析,又要进行相应的代数抽象探求,仅对代数问题进行几何分析容易出错.
(3)简单性原则.不要为了“数形结合”而数形结合.具体运用时,一要考虑是否可行和是否有利;二要选择好突破口,恰当设参、用参、建立关系、做好转化;三要挖掘隐含条件,准确界定参变量的取值范围,特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线.
3.数形结合思想解决的问题常有以下几种:
(1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围.
(2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围.
(3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系.
(4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式.
(5)构建立体几何模型研究代数问题.
(6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题.
(7)构建方程模型,求根的个数.
(8)研究图形的形状、位置关系、性质等.
4.数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧,特别是在解选择题、填空题时发挥着奇特功效,这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练,以提高解题能力和速度.具体操作时,应注意以下几点:
(1)准确画出函数图象,注意函数的定义域.
(2)用图象法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法,值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整,以便于作图),然后作出两个函数的图象,由图求解.
热点一 利用数形结合思想讨论方程的根
例1 (2014·山东)已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx,若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则实数k的取值范围是( )
A.(0,) B.(,1)
C.(1,2) D.(2,+∞)
答案 B
解析 先作出函数f(x)=|x-2|+1的图象,如图所示,当直线g(x)=kx与直线AB平行时斜率为1,当直线g(x)=kx过A点时斜率为,故f(x)=g(x)有两个不相等的实根时,k的范围为(,1).
思维升华 用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解的个数是一种重要的思想方法,其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时,需要作适当变形转化为两个熟悉的函数),然后在同一坐标系中作出两个函数的图象,图象的交点个数即为方程解的个数.
设函数f(x)=若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则关于x的方程f(x)=x的解的个数为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
答案 C
解析 由f(-4)=f(0),f(-2)=-2,
解得b=4,c=2,∴f(x)=
作出函数y=f(x)及y=x的函数图象如图所示,
由图可得交点有3个.
热点二 利用数形结合思想解不等式、求参数范围
例2 (1)已知奇函数f(x)的定义域是{x|x≠0,x∈R},且在(0,+∞)上单调递增,若f(1)=0,则满足x·f(x)0的x的取值范围是________.
(2)若不等式|x-2a|≥x+a-1对x∈R恒成立,则a的取值范围是________.
答案 (1)(-1,0)∪(0,1)
(2)
解析 (1)作出符合条件的一个函数图象草图即可,由图可知x·f(x)0的x的取值范围是(-1,0)∪(0,1).
(2)作出y=|x-2a|和y=x+a-1的简图,依题意知应有2a≤2-2a,
故a≤.
思维升华 求参数范围或解不等式问题时经常联系函数的图象,根据不等式中量的特点,选择适当的两个(或多个)函数,利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决问题,往往可以避免烦琐的运算,获得简捷的解答.
(1)设A={(x,y)|x2+(y-1)2=1},B={(x,y)|x+y+m≥0},则使A?B成立的实数m的取值范围是__________.
(2)若不等式≤k(x+2)-的解集为区间[a,b],且b-a=2,则k=________.
答案 (1)[-1,
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