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简单的线性规划（二） 线性规划教学设计方案 教学目标 巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域，能用此来求目标函数的最值． 重点难点 理解二元一次不等式表示平面区域是教学重点． 如何扰实际问题转化为线性规划问题，并给出解答是教学难点． 教学步骤 我们知道，二元一次不等式和二元一次不等式组都表示平面区域，在这里开始，教学又翻开了新的一页，在今后的学习中，我们可以逐步看到它的运用． 先讨论下面的问题 设 ，式中变量x、y满足下列条件 ?? ① 求z的最大值和最小值． 我们先画出不等式组①表示的平面区域，如图中 内部且包括边界．点不在这个三角形区域内，当 时， ，点在直线 上． 作一组和 平等的直线 　　 可知，当l在 的右上方时，直线l上的点 满足 ． 即 ，而且l往右平移时，t随之增大，在经过不等式组①表示的三角形区域内的点且平行于l的直线中，以经过点A的直线l，所对应的t最大，以经过点 的直线 ，所对应的t最小，所以 在上述问题中，不等式组①是一组对变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，所以又称线性约束条件． 　　 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫做目标函数，由于 又是x、y的解析式，所以又叫线性目标函数，上述问题就是求线性目标函数 在线性约束条件①下的最大值和最小值问题． 线性约束条件除了用一次不等式表示外，有时也有一次方程表示． 一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题，满足线性约束条件的解 叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域，在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域，其中可行解和分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解． 例1? 解下列线性规划问题：求 的最大值和最小值，使式中的x、y满足约束条件 解：先作出可行域，见图中 表示的区域，且求得 ． 作出直线 ，再将直线 平移，当 的平行线 过B点时，可使 达到最小值，当 的平行线 过C点时，可使 达到最大值． 　　 通过这个例子讲清楚线性规划的步骤，即： 第一步：在平面直角坐标系中作出可行域； 第二步：在可行域内找出最优解所对应的点； 第三步：解方程的最优解，从而求出目标函数的最大值或最小值． 例2? 解线性规划问题：求 的最大值，使式中的x、y满足约束条件． 　 解：作出可行域，见图，五边形OABCD表示的平面区域． 作出直线 将它平移至点B，显然，点B的坐标是可行域中的最优解，它使 达到最大值，解方程组 得点B的坐标为． ∴? 这个例题可在教师的指导下，由学生解出．在此例中，若目标函数设为 ，约束条件不变，则z的最大值在点C处取得．事实上，可行域内最优解对应的点在何处，与目标函数 所确定的直线 的斜率 有关．就这个例子而言，当 的斜率为负数时，即 时，若 时，线段BC上所有点都是使z取得最大值；当 时，点C处使z取得最大值，若 ，可请同学思考． 随堂练习 1．求 的最小值，使式中的 满足约束条件 　　 2．求 的最大值，使式中 满足约束条件 　　 答案：1． 时， ． 2． 时， ． 总结提炼 1．线性规划的概念． 2．线性规划的问题解法． 布置作业 1．求 的最大值，使式中的 满足条件 　　 2．求 的最小值，使 满足下列条件 　　 答案：1． 2．在可行域内整点中，点使z最小， 探究活动 利润的线性规划 　　［问题］某企业1997年的利润为5万元，1998年的利润为7万元，1999年的利润为81元，请你根据以上信息拟定两个不同的利润增长直线方程，从而预2001年企业的利润，请问你帮该企业预测的利润是多少万？ ［分析］首先应考虑在平面直角坐标系中如何描述题中信息：“1997年的利润为5万元，1998年的利润为7万元，1999年的利润为8万元”，在确定这三点坐标后，如何运用这三点坐标，是仅用其中的两点，还是三点信息的综合运用，运用时要注意有其合理性、思考的方向可以考虑将通过特殊点的直线、平行某个线段的直线、与某些点距离最小的