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第十六章 分式 分式 16.1.1 从分数到分式 一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。 分式中，A叫做分子，B叫做分母。 分式是不同于整式的另一类式子。（分式和整式通称为有理式。） （分式是不同于整式的另一类有理式，且分母中含有字母是分式的一大特点。） 由于字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性。 （分式的值为0：当分子等于0而分母不等于0时，分式的值为0。 （当=0时，分子A=0且分母B≠0。） （答题格式：①分子=0；②代入分母≠0；③最后答案） 分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0，分式才有意义。（当B=0时，分式无意义。） 16.1.2 分式的基本性质 一般地，对于任意一个分数有 ，（c≠0），其中a，b，c是数。 分数的基本性质：一个分数的分子、分母同乘（或除以）一个不为0的数，分数的值不变。 分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个等于0的整式，分式的值不变。 上述性质可以用式子表示为 ， （C≠0），其中A，B，C是整式。 （分式的符号法则：①；② 分式的变号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。） 利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。经过约分后的分式，其分子与分母没有公因式，像这样分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。 分式的约分，一般要约去分子和分母所有的公因式，使所得结果成为最简分式或者整式。 利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分式化成分母相同的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。 为通分要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母。 （（x+a）(x+b）=x2+（a+b）x+ab x2+px+q=（x+a）（x+b） p=a+b ，q=ab) 16.2 分式的运算 16.2.1 分式的乘除 乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。 除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。（乘以除式的倒数） 上述法则可以用式子表示为 运算结果应化为最简分式。 分子、分母是多项式时，先分解因式便于约分。 乘除混合运算可以统一为乘法运算。 一般地，当n是（正）整数时， 这就是说，分式乘方要把分子、分母分别乘方。 分式的加减 分式的加减法法则是： 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。 上述法则可用式子表示为 ， 式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减。 整数指数幂 正整数指数幂有以下运算性质： （1）am·an=am+ n（m，n是正整数）； （2）（am）n=amn（m，n是正整数）； （3）（ab）n=anbn（n是正整数）； （4）am÷an = am- n（a≠0，m，n是正整数，m＞n） （5）（）= （n是正整数） 其中，第（5）个性质就是分式的乘方法则。 0指数幂，即当a≠0时，a0=1 学习了分式后，对指数的认识会有新发展，即将讨论的a-n（n是正整数）就属于分式。 一般地，当n是正整数时，a-n = （a≠0） 这就是说，a-n（a≠0）是的倒数。 （1.a0=1（a≠0） 2. a-n = （a≠0） 3.a的倒数记作：或a-1） （1n=1 a2≥0 a-2≥0） （当指数为0、负整数时，底数不能为0。） 归纳：am·an=am+n这条性质对于m，n是任意整数的情形任然适用。 负数的引入可以使减法转化为加法，即x－y＝x＋（－y）；负指数幂的引入可以使除法转化为幂的乘法，即=x·y－1 小于1的正数可以用科学计数法表示为a×10-n的形式，其中a是整数数位只有一位的正数，n是正整数。这种形式更便于比较数的大小。 （a×10-n，1≤＜10，n是整数。 一般地，10的－n次幂，在1前有n个0（包括小数点前面的0。）） 16.3 分式方程 分母中含未知数的方程叫做分式方程。 （一元方程的解成为根。） 归纳：解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母。这也是解分式方程的一般思路和做法。 归纳：一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。 （解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。它的一般解法是： （1）去分母，方程两边都乘以最简公分母 （