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3.4生活中的优化问题举例（学案） 本节目标：能利用导数知识解决实际生活中的最优化问题． 本节重点：利用导数知识解决实际中的最优化问题． 本节难点：将实际问题转化为数学问题，建立函数模型． 背景知识：生活中经常遇到求面积体积最大、利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为＿＿＿＿问题. 通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具，本节我们运用导数，解决一些生活中的 优化问题. 一、知识回顾 利用导数求函数最值的步骤？（1）先求＿＿＿＿＿＿ （2）再＿＿＿＿ 二、新课探究： 探究（一）：海报版面尺寸的设计 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图1.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm。如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？ 思考1：设哪个量为x，函数式子更简单？版心的高，宽，海报的高，宽？ 思考2：设版心的高为x，则版心的宽为＿＿＿，海报的高为＿＿＿，海报的宽为＿＿＿＿?海报的面积为＿＿＿＿？海报四周空白的面积为————? 思考3：设海报四周空白的面积为S(x)，则S(x)的最简表达式如何？其定义域是什么？ 思考4：用什么方法求S(x)的最大值？能想到几种方法？ 解法一： 解法二： 方法感悟 解决面积、容积的最值问题，要合理选择自变量，结合图形，将面积或容积表示为自变量的函数，并确定函数定义域。 探究（二）：饮料瓶大小对饮料公司利润的影响 （1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？ （2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？ 【背景知识】：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是分，其中 是瓶子的半径，单位是厘米。已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm 问题：（１）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？ 　　 （２）瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？ 思考1：1mL饮料所占的体积是多少？半径为r的瓶子最多能装多少mL的饮料？出售每瓶饮料制造商可获利多少？ 思考2：每瓶满装的饮料的利润(单位：分)是多少？ 思考3：设每瓶满装饮料的利润为f(r)，则函数f(r)的定义域是什么？解： 方法感悟 解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有 (1)利润＝收入－成本； (2)利润＝每件产品的利润×销售件数． 三、课堂检测练习 1：将一段长为12cm的铁丝围成一个矩形，则这个矩形面积的最大值为多少？ 分析：可设哪个量为x？ 2：已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q，价格p与产量q的函数关系式为．求产量q为何值时，利润L最大？ 分析：利润L=＿＿＿减去＿＿＿，而收入R =＿＿＿乘以＿＿＿＿．由此可得出利润L与产量q的函数关系式，再用导数求最大利润． 3:在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去边长相等的正方形,再把它的边沿虚线折起(如图),做成一个无盖的方底铁皮箱.箱底边长为多少时,箱子容积最大?最大容积是多少? 分析：设箱底边长为x，则箱底面积为＿＿？箱子高为＿＿？箱子容积=＿＿？ 4. 某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量x(吨)与每吨产品的价格P(元/吨)之间的关系为P＝24200－x2，且生产x吨的成本为R＝50000＋200x元．问该产品每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？(利润＝收入－成本)． [分析]　根据题意，月收入＝月产量×单价＝px，月利润＝月收入－成本＝px－(50000＋200x)(x≥0)，列出函数关系式建立数学模型后再利用导数求最大值 5．统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为y＝x3－x＋8(0x≤120)．已知甲、乙两地相距100千米，当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？ 分析：甲地到乙地时间为＿＿？甲地到乙地耗油=＿＿×＿＿？ 四、小结 解决生活中的优化问题的基本步骤 1、建立实际问题的数学模型，写出函数关系式； 2、求函数的导数 ，求出极值点; 3、确定最大（小）值； 4、作答。 五、作业：习题3.4 3, 6 _ x _ x _ 60 _ 60 x x