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托勒密定理 1定理内容 托勒密(Ptolemy)定理指出，圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。 2 证明方法 　　在任意凸四边形ABCD中(如右图)，作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ ACD,连接DE. 　　则△ABE∽△ACD 所以 BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD (1)由△ABE∽△ACD得AD/AC=AE/A又∠BAC=∠EAD, 　　所以△ABC∽△AED. 　　BC/ED=AC/AD,即ED·AC=BC·AD (2) 　　(1)+(2),得 　　AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC 　　又因为BE+ED≥BD （仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”） 已知：圆内接四边形ABCD，求证：AC·BD＝AB·CD＋AD·BC． 证明：如图1，过C作CP交BD于P，使1=∠2，又3=∠4，ACD∽△BCP．得AC：BC=AD：BP，AC·BP=AD·BC 。又ACB=∠DCP，5=∠6，ACB∽△DCP．得AC：CD=AB：DP，AC·DP=AB·CD 。＋得 AC(BP＋DP)=AB·CD＋AD·BC．即AC·BD=AB·CD＋AD·BC． x,DP＝2x.由割线定理得(2＋x)x＝2x(1＋2x).解得AD＝x＝2－2,BC＝BP＝4－. 由托勒密定理有 BD·CA＝(4－)(2－2)＋2×1＝10－12. 又SABCD＝S△ABD＋S△BCD＝. 故sin∠AOB＝. 例8 如图8,△ABC与△A＇B＇ C＇的三边分别为a、b、c与a＇、 b＇、c＇,且∠B＝∠B＇,∠A＋∠A ＇＝180°.试证：aa＇＝bb＇＋cc＇. 分析：因∠B＝∠B＇,∠A＋∠A＇ ＝180°,由结论联想到托勒密定理,构造圆内接四边形加以证明. 证明：作△ABC的外接圆,过C作CD∥AB交圆于D,连结AD和BD,如图9所示. ∵∠A＋∠A＇＝180°＝∠A＋∠D, ∠BCD＝∠B＝∠B＇, ∴∠A＇＝∠D,∠B＇＝∠BCD. ∴△A＇B＇C＇∽△DCB. 有＝＝, 即 ＝＝. 故DC＝,DB＝. 又AB∥DC,可知BD＝AC＝b,BC＝AD＝a. 从而,由托勒密定理,得 AD·BC＝AB·DC＋AC·BD, 即 a2＝c·＋b·. 故aa＇＝bb＇＋cc＇. 西姆松定理 西姆松定理是一个几何定理。表述为：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。（此线为西姆松线）。西姆松定理的逆定理为：若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在此三角形的外接圆上。 证明 　证明一： △ABC外接圆上有点P，且PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，PD⊥BC于D，分别连DE、DF. 　　易证P、B、F、D及P、D、C、E和A、B、P、C分别共圆，于是∠FDP=∠ACP ①，（∵都是∠ABP的补角） 且∠PDE=∠PCE 　　② 而∠ACP+∠PCE=180° 　　③ ∴∠FDP+∠PDE=180° ④ 即F、D、E共线. 反之，当F、D、E共线时，由④→②→③→①可见A、 　　证明二： 如图，若L、M、N三点共线，连结BP，CP，则因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、P、L、N和M、P、L、C分别四点共圆，有 　　∠PBN = ∠PLN = ∠PLM = ∠PCM. 　　故A、B、P、C四点共圆。 　　若A、B、P、C四点共圆，则∠PBN = ∠PCM。因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、P、L、N和M、P、L、C四点共圆，有 ∠PBN =∠PLN =∠PCM=∠PLM. 圆幂定理 基本定义 　　圆幂定理是平面几何中的一个定理，是相交弦定理、切割线定理及割线定理(切割线定理推论)的统一。圆幂=PO^2-R^2。 　2 相关定理 　相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。 　　切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 　　割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A、B；C、D，则有 PA·PB=PC·PD。 统一归纳：过任意不在圆上的一点P引两条直线L1、L2，L1与圆交于A、B（可重合， 即切线），L2与圆交于C、D（可重合），则有PA·PB=PC·PD。 中线定理 中线定理（pappus定理），又称阿波罗尼奥斯定理，是欧氏几何的定理，表述三角形三边和中线长度关系。 三角形一条中线两侧所对边平方和等于底边的一半平方与该边中线平方和的2倍。　任意三角形△ABC，设I是线段BC的中点，A