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几何证明选讲适用学科数学适用年级高二适用区域新课标课时时长（分钟）60知识点相似三角形的判定及有关性质圆周角定理圆内接四边形的性质和判定定理圆的切线的性质圆的切线的判定弦切角的性质与圆有关的比例线段教学目标理解相似三角形的定义与性质，了解平行截割定理．会证以下定理：①直角三角形射影定理；②圆周角定理；③圆的切线判定定理与性质定理；④相交弦定理；⑤圆内接四边形的性质定理与判定定理；⑥切割线定理．教学重点利用平面几何中三角形相似，直角三角形的射影定理等有关知识解决平面几何中的线段之间的关系等问题教学难点相交弦定理、割线定理、圆周角定理等相关的知识解决平面上与圆有关的角、线段等问题教学过程一、复习预习教师引导学生复习上节内容，并引入本节课程内容二、知识讲解考点/易错点1 平行截割定理三条平行线截两条直线，所截出的对应线段成比例.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.考点/易错点2 相似三角形的判定(1)定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应的边的比值叫做比 (或相似系数).(2)判定定理定理1：两角对应角相等，两三角形相似．定理2：三边对应边成比例，两三角形相似．定理3：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．推论：如果一条直线与一个三角形的一条边平行，且与三角形的另外两边相交，则截得的三角形与原三角形相似.考点/易错点3 相似三角形的性质(1)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；(2)相似三角形周长的比等于相似比；(3)相似三角形面积的比等于相似比的平方；(4)相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方.考点/易错点4 直角三角形的身影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上的射影与斜边的比例中项．考点/易错点5 圆周角 考点/易错点6 圆的切线考点/易错点7 弦切角定理及其推论考点/易错点8 园中线段成比例考点/易错点9 圆内接四边形的性质定理和判定定理 三、例题精析【例题1】【题干】如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥CD，若BC＝3，DE＝2，DF＝1，则AB的长为________．【答案】【解析】∵DE∥BC，∴＝＝＝，∴＝.又∵EF∥CD，∴＝.∴AD＝3，∴AB＝·AD＝.【例题2】【题干】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，DF⊥AC于F，DE⊥AB于E，求证：(1)AB·AC＝AD·BC；(2)AD3＝BC·BE·CF.【解析】(1)在Rt△ABC中，∵AD⊥BC，∴S△ABC＝AB·AC＝BC·AD，∴AB·AC＝AD·BC.(2)在△ADB中，∵DE⊥AB，由射影定理得BD2＝BE·AB，同理CD2＝CF·AC.∴BD2·CD2＝BE·AB·CF·AC.①又在Rt△ABC中，AD⊥BC，∴AD2＝BD·DC②由①②得AD4＝BD2·DC2＝BE·CF·AB·AC＝BE·CF·AD·BC，∴AD3＝BC·BE·CF. 【例题3】【题干】已知：如图所示，⊙O和⊙O′相交于A、B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C、D.求证：AB是BC和BD的比例中项．【解析】因为AC、AD分别是两圆的切线，所以∠C＝∠2，∠1＝∠D，所以△ACB∽△DAB.所以＝，所以AB2＝BC·BD.所以AB是BC和BD的比例中项．【例题4】【题干】如图所示，AB是⊙O的直径，C，F为⊙O上的点，CA是∠BAF的角平分线，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于D点，作CM⊥AB，垂足为点M.(1)求证：DC是⊙O的切线；(2)求证：AM·MB＝DF·DA.【解析】(1)如图所示，连接OC，所以∠OAC＝∠OCA.又因为CA是∠BAF的角平分线．所以∠OAC＝∠FAC.所以∠FAC＝∠OCA.所以OC∥AD.因为CD⊥AD，所以CD⊥OC，即CD是⊙O的切线．(2)连接BC，则在Rt△ACB中，CM2＝AM·MB.因为CD是⊙O的切线，所以CD2＝DF·DA.又Rt△AMC≌Rt△ADC，所以CM＝CD，所以AM·MB＝DF·DA. 【例题5】【题干】已知⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，过A点作⊙O1的切线交⊙O2于点E，连接EB并延长交⊙O1于点C，直线CA交⊙O2于点D.(1)如图所示，当点D与点A不重合时，试猜想线段EA＝ED是否成立？证明你的结论；(2)当点D与点A重合时，直线AC与⊙O2有怎样的位置关系？此时若BC＝2，CE＝8，求⊙O1的直径．【解析】(1)EA＝ED成立．连接AB，在EA的延长线上取点F，如图(1)所示．∵AE是⊙O1的切线，切点为A，∴∠FAC＝∠ABC.∵∠FAC＝∠DAE，∴∠ABC＝∠DAE.∵∠ABC是⊙