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几类特殊矩阵的幂与乘积 摘 要：特殊矩阵(Special Matrix)是指它的元素在数值上或其所有的性质上有特性的矩阵.特殊矩阵无论在学术上还是在应用上都有其自身的价值和起着独特的作用.一方面，大多数矩阵类型都有着一定的应用背景;另一方面，从应用课题的研究中又会引出某些矩阵类型. 本文系统的阐述了一类主对角线上元素都相等的上三角形矩阵及对角线型三角矩阵的相关性质及其应用, 通过运用矩阵二项式定理及多项式定理，使得有关计算问题降低一个数量级，并用多个例子论述并总结了特殊矩阵在科研和实践生活中如何更好的应用。 关键词：主对角线上元素都相等的上三角形矩阵，对角线型三角矩阵，幂 Several kinds of special matrix power and product HuoLiJuan Class 0702, Mathematics Department Tutor: CaoChunJuan Abstract: Special Matrix (Special Matrix) refers to its elements in numerical or the nature of its role Have the property of matrix. Special matrix whether in academic or in applications has its own value and plays a unique role. On one hand, most matrix type has certain application background; On the other hand, applied research on topics from and leads some matrix type. This paper elaborated this kind of Lord system on the diagonal elements are equal on triangle matrix and diagonal linear triangular matrices, the related properties and applications by using matrix binomial theorem and related calculation, making polynomial theorem, and an order of magnitude problems reduce discussed and summarized several examples in special matrix research and practical application of how better in life. Keywords: Main diagonal line elements in the triangle matrix are equal, diagonal linear triangular matrices, a power. 1引言 特殊矩阵是计算数学的重要组成部分。它是研究代数问题的特殊矩阵快速算法及有关理论的一门学科，它既涉及数学理论方面的研究，又涉及工程设计面 的研究。随着科学技术的发展和计算机的普及，矩阵理论和方法得到了越来越广 泛的应用。在近代数学、工程技术、经济理论及管理科学中，大量地涉及到矩阵 的理论，特别是一些特殊矩阵(具有特殊性质和特殊结构的矩阵)，相应的计算规 模也越来越大。近十几年来，国防科技和国民经济建设的许多领域中就不断提出 了大型或超大型科学计算问题。由于矩阵在各个学术领域和重要应用课题中所起 的不可替代的作用，故有必要对其进行细致的研究。 科学技术和工程应用中需要进行大量的矩阵计算，而这些矩阵自身往往具备 一些特殊的结构及特殊的性质，这即是所谓的特殊矩阵。由于特殊矩阵在数值分 析、优化理论、自动控制、数字信号处理、系统辨识、工程计算等领域中有重要 而广泛的应用，所以对特殊矩阵的研究一直是被关注的热点。为提高特殊矩阵的 运算效率，通过运用特殊矩阵的特殊结构及性质，使得有关计算问题降低一个数 量级，研究特殊矩阵的幂与乘积，这是具有重要的理论意义和现实意义的研究课题。自德国数学家托普列茨(Toeplitz,Otto,1881-1940)在二十世纪初首先提出主对角线上元素都相等的上三角矩阵的定义并研究了它的一些简单性质以来，有众多学者在此基础上又给出了许多优美的性质。在《计算数学》、《数值计算与计算机应用》、《高等学校计算数学学报》、《高校应用数学学报》、《数学的实践与认识》等期