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[创新方案2013年高考数学一轮复习第四篇三角函数、解三角形第6讲正弦定理和余弦定理好理新人教版1
第6讲 正弦定理和余弦定理
【2013年高考会这样考】
1.考查正、余弦定理的推导过程.
2.考查利用正、余弦定理判断三角形的形状.
3.考查利用正、余弦定理解任意三角形的方法.
【复习指导】
1.掌握正弦定理和余弦定理的推导方法.
2.通过正、余定理变形技巧实现三角形中的边角转换,解题过程中做到正余弦定理的优化选择.
基础梳理
1.正弦定理:===2R,其中R是三角形外接圆的半径.由正弦定理可以变形为:
(1)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C;
(2)a=2Rsin_A,b=2Rsin_B,c=2Rsin_C;
(3)sin A=,sin B=,sin C=等形式,以解决不同的三角形问题.
2.余弦定理:a2=b2+c2-2bccos_A,b2=a2+c2-2accos_B,c2=a2+b2-2abcos_C.余弦定理可以变形为:cos A=,cos B=,cos C=.
3.S△ABC=absin C=bcsin A=acsin B==(a+b+c)·r(R是三角形外接圆半径,r是三角形内切圆的半径),并可由此计算R,r.
4.已知两边和其中一边的对角,解三角形时,注意解的情况.如已知a,b,A,则
A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系
式 a<bsin A a=bsin A bsin A<a<b a≥b a>b a≤b 解的
个数 无解 一解 两解 一解 一解 无解
一条规律
在三角形中,大角对大边,大边对大角;大角的正弦值也较大,正弦值较大的角也较大,即在△ABC中,A>B?a>b?sin A>sin B.
两类问题
在解三角形时,正弦定理可解决两类问题:(1)已知两角及任一边,求其它边或角;(2)已知两边及一边的对角,求其它边或角.情况(2)中结果可能有一解、两解、无解,应注意区分.余弦定理可解决两类问题:(1)已知两边及夹角求第三边和其他两角;(2)已知三边,求各角.
两种途径
根据所给条件确定三角形的形状,主要有两种途径:
(1)化边为角;(2)化角为边,并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换.
双基自测
1.(人教A版教材习题改编)在△ABC中,A=60°,B=75°,a=10,则c等于( ).
A.5 B.10
C. D.5
解析 由A+B+C=180°,知C=45°,
由正弦定理得:=,
即=.∴c=.
答案 C
2.在△ABC中,若=,则B的值为( ).
A.30° B.45° C.60° D.90°
解析 由正弦定理知:
=,∴sin B=cos B,∴B=45°.
答案 B
3.(2011·郑州联考)在△ABC中,a=,b=1,c=2,则A等于( ).
A.30° B.45° C.60° D.75°
解析 由余弦定理得:cos A===,
∵0<A<π,∴A=60°.
答案 C
4.在△ABC中,a=3,b=2,cos C=,则△ABC的面积为( ).
A.3 B.2 C.4 D.
解析 ∵cos C=,0<C<π,
∴sin C=,
∴S△ABC=absin C
=×3×2×=4.
答案 C
5.已知△ABC三边满足a2+b2=c2-ab,则此三角形的最大内角为________.
解析 ∵a2+b2-c2=-ab,
∴cos C==-,
故C=150°为三角形的最大内角.
答案 150°
考向一 利用正弦定理解三角形
【例1】?在△ABC中,a=,b=,B=45°.求角A,C和边c.
[审题视点] 已知两边及一边对角或已知两角及一边,可利用正弦定理解这个三角形,但要注意解的判断.
解 由正弦定理得=,=,
∴sin A=.
∵a>b,∴A=60°或A=120°.
当A=60°时,C=180°-45°-60°=75°,
c==;
当A=120°时,C=180°-45°-120°=15°,
c==.
(1)已知两角一边可求第三角,解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可.
(2)已知两边和一边对角,解三角形时,利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角,这是解题的难点,应引起注意.
【训练1】 (2011·北京)在△ABC中,若b=5,∠B=,tan A=2,则sin A=________;a=________.
解析 因为△ABC中,tan A=2,所以A是锐角,
且=2,sin2A+cos2A=1,
联立解得sin A=,
再由正弦定理得=,
代入数据解得a=2.
答案 2
考向二 利用余弦定理解三角形
【例2】?在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,且=-.
(1)求角B的大小;
(2)若b=,a+c=4,求△A
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