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初三数学《圆》知识提纲（修改版） (何老师归纳) 一、圆的有关性质 一：圆的相关概念： 1：圆的定义：两要素：定点（圆心），定长（半径） ⑴ 动态定义: 一条线段OA绕着它的一个端点O在平面内旋转一周时，另一个端点A所形成的图形叫圆 ⑵ 静态定义：圆可以看作是到定点的距离等于定长的所有点的集合 2： 弦：连接圆上任意两点间的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是最长的弦。 3： 弦心距：圆心到弦的距离 4： 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧 ⑴ 分类：半圆：圆上直径的两端点间的部分叫做半圆 优弧：大于半圆的弧叫做优弧；记着： 劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧；记着： ⑵ 同弧：一个圆中，同一条弧叫同弧 等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的两条弧 （两条件：1长度相等，2弯曲程度一致） 5：同圆：同一个圆叫同圆 等圆：圆心不相同，半径相等的圆； 同心圆：圆心相同，半径不等的圆。 6：弓形：弧与所对的弦所组成的图形 弓形高（h）＝半径(r)±弦心距(d) 7：弧的度数：将圆周等分成360份，得到每一份的弧叫做1°的弧，弧的度数就是所对圆心角的度数 8 ：圆心角：顶点在圆心的角 圆周角 ：顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角 9：圆外角：顶点在圆外，两边与圆相交的角，其度数等于所截两弧度数差的一半. 圆内角：顶点在圆内，两边与圆相交的角，其度数等于其及其对顶角所截弧度数和的一半. 10：三角形的外心：三角形外接圆的圆心（或三角形三边中垂线的交点）叫外心 三角形的外接圆：如果三角形的三顶点在圆上，这个圆叫三角形的外接圆，反之，这个三角形叫圆的内接三角形 二：点与圆的位置关系: 1：点在圆内 dr 点C在圆内 2：点在圆上 d=r 点B在圆上 3：点在此圆外 dr 点A在圆外 圆是轴对称图形，它的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴。 三：重要定理： 1、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 几何表达式举例： ∵ AB过圆心,CD⊥AB ∴ 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称“知2推3定理”：，即： ①是直径 ② ③ ④ ⑤ ，由其中任意2个条件便推出其他3个结论。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙中，∵∥ ∴ 2、四量关系定理（即“角、弦、弧、距”定理）： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称“知1推3定理”，即其中的1组量相等，则可以推出其它的3组量也对应结论， 即：①? ② ? ③? ④ 弧弧 3、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半，同时也等于所对弧的度数的一半。 即：∵和是弧所对的圆心角和圆周角 ∴∠ACB＝∠AOB＝弧ACB的度数 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧； 即：在⊙中，∵、所对的弧是弧AB ∴ 推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。 即：在⊙中，∵是直径 或 ∵ ∴ ∴是直径 推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 即：在△中，∵ ∴△是直角三角形（或） 重要结论：在同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等或互补 4、圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 即：在⊙中 ∵四边形是内接四边形 ∴ 5；外接圆定理：不在一直线上的三个点确定一个圆 （1）过一点可以画无数个圆； （2）过两点可以画无数个圆，圆心在两点连线的垂直平分线上； （3）过不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，这个外接圆是唯一的 四：反证法步骤： 1：假定原命题的结论不成立 -----反设 2：进行推理，推出与已知，定义，定理（公理）矛盾；-----归谬 3：判定假设不成立，从而肯定原命题正确 -----结论 五：圆常见辅助线作法一： 1：作半径 2：作弦心距 3：作同弧或等弧所对的圆周角 4：作直径所对的圆周角 二：直线与圆 一： 直线与圆的位置关系: 1：直线与圆相离 dr 无交点