[初三数第2讲圆教师版.docVIP

第二讲 圆 一、知识梳理 1、圆的有关概念及性质 圆是平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．定点为圆心，定长为半径． 圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称轴是任意一条过圆心的直线，对称中心是圆心，圆还具有旋转不变性． 2、垂径定理及其逆定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧． 逆定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧． 这两个定理大家一定要弄清楚、不能混淆，所以我们应先对他们进行区分．每个定理都是一个命题，每个命题都有条件和结论．在垂径定理中，条件是：一条直径垂直于一条弦，结论是：这条直径平分这条弦，且平分弦所对的弧(有两对弧相等)．在逆定理中，条件是：一条直径平分一条弦(不是直径)，结论是：这条直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的弧(也有两对弧相等)．从上面的分析可知，垂径定理中的条件是逆定理中的结论，垂径定理中的一个结论是逆定理中的条件，在具体的运用中，是根据已知条件提供的信息来决定用垂径定理还是其逆定理，若已知直径垂直于弦，则用垂径定理；若已知直径平分弦，则用逆定理． 3、圆心角、弧、弦之间关系定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等． 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 4、圆心角与圆周角的关系 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等． 直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 经典例题讲解 【例题1】判断题(对的打√，错的打×，并说明理由)(1)半圆是弧，但弧不一定是半圆；(2)弦是直径；(3)长度相等的两段弧是等弧；(4)直径是圆中最长的弦.〖难度分级〗A类 〖试题来源〗经典例题 〖选题意图〗巩固圆的基本概念 〖解题思路〗(1)因为半圆是弧的一种，弧可分为劣弧、半圆、优弧三种，故正确；(2)直径是弦，但弦不一定都是直径，只有过圆心的弦才是直径，故错；(3)只有在同圆或等圆中，能够互相重合的两段弧才是等弧，故错；(4)直径是圆中最长的弦，正确. 〖参考答案〗 (1)√(2)×(3)×(4)√. 举一反三 【变式1】下列说法错误的是( )A.半圆是弧 B.圆中最长的弦是直径 C.半径不是弦 D.两条半径组成一条直径 〖解题思路〗弧有三类，分别是优弧、半圆、劣弧，所以半圆是弧，A正确；直径是弦，并且是最长的弦，B正确；半径的一个端点为圆心，另一个端点在圆上，不符合弦的定义，所以不是弦，C正确；两条半径只有在同一直线上时，才能组成一条直径，否则不是，故D错误. 〖参考答案〗D 【例题2】已知，点P是半径为5的⊙O内一点，且OP=3，在过点P的所有的⊙O的弦中，弦长为整数的弦的条数为( ) A.2 B.3 C.4 D.5〖难度分级〗A类 〖试题来源〗经典例题 〖选题意图〗巩固垂径定理 〖解题思路〗在一个圆中，过一点的最长弦是经过这一点的直径，最短的弦是经过这一点与直径垂直的弦.知道这些，就可以利用垂径定理来确定过点P的弦长的取值范围. 〖参考答案〗 解：如图，过点P作直径AB，过点P作弦，连接OC则OC=5，CD=2PC由勾股定理，得∴CD=2PC=8，又AB=10 ∴过点P的弦长L的取值范围是 弦长L的整数解为8，9，10，弦长等于9的弦有2条，共4个 答案：C 总结升华：本题中很多条件是“隐性”出现的，或者称之为“隐含条件”.我们在解题时，要善于挖掘隐含条件，识别隐含条件的不同表达方式，将其转化为容易理解的题目，化难为易，这也体现了转化思想在解题中的具体应用. 【例题3】.已知：⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB=12cm，CD=16cm，求AB、CD间的距离. 〖难度分级〗B类 〖试题来源〗经典例题 〖选题意图〗加深垂径定理的理解、应用。 〖解题思路〗⊙O中，两平行弦AB、CD间的距离就是它们的公垂线段的长度，若分别作弦AB、CD的弦心距，则可用弦心距的长表示这两条平行弦AB、CD间的距离. 〖参考答案〗 解：(1)如图，当⊙O的圆心O位于AB、CD之间时，作OM⊥AB于点M，并延长MO，交CD于N点.分别连结AO、CO. 又∵AB∥CD ∴ON⊥CD，即ON为弦CD的弦心距. ∵AB=12cm，CD=16cm，AO=OC=10cm  =8+6=14(cm) (2)如图所示，当⊙O的圆心O不在两平行弦AB、CD之间 (即弦AB、CD在圆心O的同侧)时 同理可证：MN=OM-ON=8-6=2(cm) ∴⊙O中，平行线AB、CD