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[勾股定理奥数基础汇总
勾股定理
一、内容提要
勾股定理及逆定理:△ABC中 ∠C=Rt∠a2+b2=c2
勾股定理及逆定理的应用
作已知线段a的,, ……倍
计算图形的长度,面积,并用计算方法解几何题
证明线段的平方关系等。
勾股数的定义:如果三个正整数a,b,c满足等式a2+b2=c2,那么这三个正整数a,b,c叫做一组勾股数.
勾股数的推算公式
罗士琳法则(罗士琳是我国清代的数学家1789――1853)
任取两个正整数m和n(mn),那么m2-n2,2mn, m2+n2是一组勾股数。
如果k是大于1的奇数,那么k, ,是一组勾股数。
如果k是大于2的偶数,那么k, ,是一组勾股数。
如果a,b,c是勾股数,那么na, nb, nc (n是正整数)也是勾股数。
熟悉勾股数可提高计算速度,顺利地判定直角三角形。简单的勾股数有:3,4,5; 5,12,13; 7,24,25; 8,15,17; 9,40,41。
1.常用勾股数口诀记忆
常见勾股数
3,4,5 : 勾三股四弦五
5,12,13 : 5·12记一生
6,8,10: 连续的偶数
7,24,25 : 企鹅是二百五
8,15,17 : 八月十五在一起
特殊勾股数
连续的勾股数只有3,4,5
连续的偶数勾股数只有6,8,102.100以内的勾股数
开头数字为20以内
3 4 5;5 12 13; 6 8 10;7 24 25;8 15 17;9 12 15;9 40 41;10 24 26;11 60 61;12 16 20;12 35 37;13 84 85;14 48 50;15 20 25;15 36 39;16 30 34;16 63 65;18 24 30;18 80 82
例1.已知线段a a a 2a 3a a
求作线段a a
分析一:a== 2a
∴a是以2a和a为两条直角边的直角三角形的斜边。
分析二:a=
∴a是以3a为斜边,以2a为直角边的直角三角形的另一条直角边。
作图(略)
例2.四边形ABCD中∠DAB=60,∠B=∠D=Rt∠,BC=1,CD=2
求对角线AC的长
例3.已知△ABC中,AB=AC,∠B=2∠A
求证:AB2-BC2=AB×BC
例4.如图已知△ABC中,AD⊥BC,AB+CD=AC+BD
求证:AB=AC
例5.已知梯形ABCD中,AB∥CD,AD>BC
求证:AC>BD
证明:作DE∥AC,DF∥BC,交BA或延长线于点E、F
ACDE和BCDF都是平行四边形
∴DE=AC,DF=BC,AE=CD=BF
作DH⊥AB于H,根据勾股定理
AH=,FH=
∵AD>BC,AD>DF
∴AH>FH,EH>BH
DE=,BD=
∴DE>BD
即AC>BD
例6.已知:正方形ABCD的边长为1,正方形EFGH内接于ABCD,AE=a,AF=b,且SEFGH=
求:的值
(2001年希望杯数学邀请赛,初二)
三、练习
以下列数字为一边,写出一组勾股数:
7,__,__ ②8,__,__ ③9,__,__
④10,__,__ ⑤11,__,__ ⑥12,__,__
根据勾股数的规律直接写出下列各式的值:
252-242=__, ②52+122=__,
③=___,④=___
△ABC中,AB=25,BC=20,CA=15,CM和CH分别是中线和高。那么S△ABC=__,CH=__,MH=___
4. 梯形两底长分别是3和7,两对角线长分别是6和8,则S梯形=___
5.已知:△ABC中,AD是高,BE⊥AB,BE=CD,CF⊥AC,CF=BD
求证:AE=AF
6.已知:M是△ABC内的一点,MD⊥BC,ME⊥AC,MF⊥AB,
且BD=BF,CD=CE
求证:AE=AF
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