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勾股定理的证明及应用【重点】：【难点】：【勾股文化学习】的讨论。有人主张叫“商高定理”。因这一结论的在我国最早是由西周初的商高提出的。在数学著作《周髀算经》(前1世纪)一书中，记载有商高(前1120)与周公的对话，其中商高提出了“勾三股四弦五的说法。不过据推断，他还只是了解三边满足3：4：5关系的特例情况，普遍性的结论，由陈子(前716)提出。他说：“……勾股各自乘，并而开方除之……”这是普遍勾股定理在我国的最早记载。故有人主张应称为“陈子定理”。后来决定不用人名，而称为“勾股定理”。单就名称之多，勾股定理就可创下一项平面几何之最了。　　今天有人戏称，勾股定理为‘宇宙大定理’，因为现在看来，世界上各民族都在差不多接近的时间内独立地发现了勾股定理及其逆定理。目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。据说我国著名数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种“语言”的。　　勾股定理在每一个时代都会被当代的精英们给出新的内涵外延，从柏拉图寻求不定方程通解到费马大定理，到今天的分形勾股树(如右上两图)，每每读到这些智慧的创造都会让人神往。　　……【勾股定理的证明】　　可证明：　　　　　　　　证明思路很多，较简捷的是过F作FP⊥AB于P　　易证△FPB≌△CBA进而可知　　而　　2、下图最早是由我国三国时期数学家赵爽（东汉末至三国东吴人）提出的一种证法．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　该图叫弦图，由图示可知　　．　　3、下图最早是由我国三国时魏国的数学家刘徽（公元三世纪）为注释《九章算术》时提出的一种证法“青朱入出图”， 由图示．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　边长为a、b的两个正方形，如图示裁割．　　M补入处，N补入处，Q补入处　　4、下图最早是由古代印度数学家婆什迦罗提出的一种证法．　　　 图示的裁割线索很清晰，你试试给出解释．　　　　 　　……【勾股定理的应用】1、已知在△ABC中，a，b，c分别是∠A、∠B，∠C的对边，且a=3，b=4，且bc。若c为整数，则c=________　　错解：由勾股定理可得　　分析：上面的解法受“勾三、股四、弦五”的影响，没有认真审题，错在没有注意到题目中的三角形是否为直角三角形。　　正解：，又，∴ ，即4c7，∵ c为整数，∴ c为5或6　　评述：运用勾股定理解决问题时，必须是在直角三角形的条件下，不可不加分析就用勾股定理来进行计算。　　2、已知：三角形两边的长分别是5和12，如果这个三角形是直角三角形，则其第三边长为______　　错解：设第三边长为x，则由勾股定理可得：，∴ x=13　　分析：由于此题中己知直角三角形的两边长，但没有明确这两条边是直角边还是斜边，故需要分情况讨论　　正解：当x为斜边时，x=13；当x为直角边时，故第三边长为13或。　　评述：在运用勾股定理进行计算时，一定明确哪条是直角边，哪条是斜边，以防止运用不当。　　3、利用勾股定理求线段长的简单应用　　(1) 在Rt△ABC中，∠C=90°，①若a=7，b=24，则c=________；②若a=5，c=13，则b=________；　　　　③若b=15，c=25，则a=________　　(2) 等腰直角三角形的斜边长为，则此直角三角形的腰长为________________　　(3) 在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，则斜边AB=________________，斜边AB上的高线长　　　　为________________。(与面积的结合)　　(4) 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，且c+a=9，c-a=4，则b=________。　　(5) 如果一个直角三角形有一条直角边长为11，另两条边长为自然数，则这个直角三角形的周长是___　　解析：（1）① ② ③　　　　　（2）2　　　　　（3）AB=10, 　　　　　（4） 　　　　　（5）设斜边长为c，另一直角边为a，则　　　　　　　 ∵ c、a为自然数　　　　　　　 ∴ 　　　　　　　 ∴ 周长为132　　4、勾股定理在几何中的应用。　　己知：△ABC中AB=AC=20，BC=32，D是BC上一点，且AD⊥AC，求BD的长。　　　　　　　　　　　解：过A作AE⊥BC于E。　　　　∵ AB=AC，∴ 　　　　在Rt△ABE中，AB=20，BE=16，　　　　∴ 　　　　∴ AE=12　　　　故在Rt△ADE中，设DE=x，则　　　　∵ AD⊥AC于A，　　　　∴ ，即，　　　　解得