[勾股定理证明.docVIP

【证法1】(利用相似三角形性质证明) 如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D. 在ΔADC和ΔACB中， ∵ ∠ADC = ∠ACB = 90o，∠CAD = ∠BAC， ∴ ΔADC ∽ ΔACB. ∴AD∶AC = AC ∶AB，即 . ? 同理可证，ΔCDB ∽ ΔACB， 从而有 . ∴ ，即 【证法2】(赵爽证明) 以a、b 为直角边(ba)， 以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状. ∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB. ∵ ∠HAD + ∠HAD = 90o， ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90o， ∴ ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2. ∵ EF = FG =GH =HE = b―a ,∠HEF = 90o. ∴ EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于. ? ∴ ? ∴ .  ?【证法3】(作直角三角形的内切圆证明) 在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c. 作RtΔABC的内切圆⊙O，切点分别为D、E、F(如图)，设⊙O的半径为r. ∵ AE = AF，BF = BD，CD = CE， ∴ = = r + r = 2r,即 ， ∴ . ∴ ， 即 ， ∵ ， ∴ ， ? 又∵ = = ? = = ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ . 【证法4】(邹元治证明) 以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 . 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上. ∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF. ∵ ∠AEH + ∠AHE = 90o, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90o. ∴ ∠HEF = 180o―90o= 90o. ∴ 四边形EFGH是一个边长为c的正方形. 它的面积等于c2. ∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA. ∵ ∠HGD + ∠GHD = 90o, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90o. 又∵ ∠GHE = 90o, ∴ ∠DHA = 90o+ 90o= 180o. ∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于. ∴ . ∴ . ? 【证法5】(1876年美国总统Garfield证明) 以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 . 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上. ∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE, ∴ ∠ADE = ∠BEC. ∵ ∠AED + ∠ADE = 90o, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90o. ∴ ∠DEC = 180o―90o= 90o. ∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形，它的面积等于. 又∵ ∠DAE = 90o, ∠EBC = 90o, ∴ AD∥BC. ∴ ? ABCD是一个直角梯形，它的面积等于 ∴ ? ∴ . ? ? ?