[北京四中高考数学总复习：知识讲解直线、平面垂直的判定和性质提高.docVIP

直线、平面垂直的判定和性质 编稿：孙永钊 审稿: 【考纲要求】 1、掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理； 2、掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理． 3、能运用公理、定理和已经获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题。 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、直线与平面垂直的判定 1、定义：如果直线与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线与平面α垂直； 2、判定定理： （1）内容：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直； （2）符合语言： 3、证明直线和平面垂直的常用方法有： （1）利用判定定理； （2）利用平行线垂直于平面的传递性 （3）利用面面平行的性质 （4）利用面面垂直的性质。 要点诠释： 当直线和平面垂直时，该直线垂直于平面内的任一直线，常用来证明线线垂直。 考点二、直线与平面垂直的性质 如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。 如果两条平行线中有一条垂直于一个平面，那么另外一条也垂直于这个平面。 考点三、平面与平面垂直的判定 1、二面角的有关概念 （1）二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角； （2）二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。 2、平面与平面垂直 （1）定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直； （2）判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直； （3）符号语言： 3、证明面面垂直的主要方法是： ①利用判定定理。在审题时要注意直观判断哪条直线可能是垂线，充分利用等腰三角形底边的中线垂直于底边，勾股定理等结论。 ②用定义证明。只需判定两平面所成二面角为直二面角。 ③客观题中，也可应用：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于第三个平面。 考点四、平面与平面垂直的性质 1、判定定理：若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面? 2、符号语言： 要点诠释：立体几何中垂直问题的证明，通常是从线线垂直切入，然后向线面垂直或面面垂直延伸。 【典型例题】 类型一、直线与平面垂直的判定 例1、如图所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，B1C1=A1C1，AC1⊥A1B，M、N分别是A1B1、AB的中点. （1）求证：C1M⊥平面A1ABB1； （2）求证：A1B⊥AM； （3）求证：平面AMC1∥平面NB1C； （4）求A1B与B1C所成的角. （1）【证明】 方法一 由直棱柱性质可得AA1⊥平面A1B1C1， 又∵C1M平面A1B1C1，∴AA1⊥MC1. 又∵C1A1=C1B1，M为A1B1中点，∴C1M⊥A1B1. 又A1B1∩A1A=A1，∴C1M⊥平面AA1B1B. 方法二 由直棱柱性质得：平面AA1B1B⊥平面A1B1C1，交线为A1B1，又∵C1A1=C1B1，M为A1B1的中点，∴C1M⊥A1B1于M. 由面面垂直的性质定理可得C1M⊥平面AA1B1B. （2）【证明】由（1）知C1M⊥平面A1ABB1， ∴C1A在侧面AA1B1B上的射影为MA. ∵AC1⊥A1B，MC1⊥A1B，MC1∩AC1=C1， ∴A1B⊥平面AMC1，又AM平面AMC1，∴A1B⊥AM. （3）【证明】 方法一 由棱柱性质知四边形AA1B1B是矩形， M、N分别是A1B1、AB的中点， ∴ANB1M.∴四边形AMB1N是平行四边形. ∴AM∥B1N.连接MN，在矩形AA1B1B中有A1B1 AB. ∴MB1 BN，∴四边形BB1MN是平行四边形.∴BB1 MN.又由BB1CC1，知MNCC1. ∴四边形MNCC1是平行四边形.∴C1MCN.又C1M∩AM=M，CN∩NB1=N， ∴平面AMC1∥平面NB1C. 方法二 由（1）知C1M⊥平面AA1B1B， A1B平面AA1B1B，∴C1M⊥A1B. 又∵A1B⊥AC1，而AC1∩C1M=C1，∴A1B⊥平面AMC1.同理可证，A1B⊥平面B1NC. ∴平面AMC1∥平面B1NC. (4)【解析】 方法一 由（2）知A1B⊥AM， 又由已知A1B⊥AC1，AM∩AC1=A，∴A1B⊥平面AMC1.又∵平面AMC1∥平面NB1C， ∴A1B⊥平面NB1C.又B1C平面NB1C，∴A1B⊥B1C.∴A1B与B1C所成的角为90°. 方法二 由直棱柱的性质有平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB，又CA=CB=C1A1，N为AB的中点，∴CN⊥AB.∴CN⊥平面AA1B1B.∴CB1在侧面AA1B1B上的射影是NB1. 又由（2）知A1B⊥AM，由（3）知B1N∥AM，∴A1B⊥B1N，CN⊥A1