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谈数学解题中的“进”与“退” 孙伟奇 (浙江省奉化中学,315500) “进”与“退”是哲学中的一对矛盾，也是数学的一种思维策略，恰到好处的“进”在解题中可以起到居高临下，高瞻远瞩，深刻认识事物本质，透彻解决问题的目的；相反，善于“退”足够地“退”也会起到峰回路转，四两拨千斤的功效．本文就“退”与“进”在解题中的作用谈谈自己的管见． 一、从“一般”向“特殊”退 有些数学题的条件与结论之间的结构联系不甚明显，直接找出结论的规律或解题方法有困难，我们可以采用从“一般”向“特殊”后退的方法去寻求解题途径．先考虑某些特殊情形，从特殊情形的解答中进一步探求出一般规律性的结论，亦可从中得到启示找到一般情形的解题方法． 例1、已知抛物线，问：在轴的正半轴上是否存在一点，使得对过的抛物线的任意一条弦都有（Ｏ为坐标原点）？请说明理由． 分析：假设满足题设条件的点M存在，设，则当时，应有此时，从而这表明若满足题设条件的点M存在，则其坐标只能是 设是过的任意一条弦，的方程为，代入且 ． 综上所述，在轴的正半轴上存在唯一一点，使得对过的抛物线的任意一条弦 二、从“抽象”向“具体”退 我们知道有些关于代数和三角方面的数学题是比较抽象的，在不容易发现其内在的联系和解题方法时，如果能从“抽象”后退到“具体”来研究他们的数量关系，则较容易发现问题的内在联系，同时通过直观性也能启发我们解题思路． 例2、为何值时，不等式恰有一个解． 分析：本题比较抽象，如单从代数不等式方面去考虑，则显得较繁．我们采取从抽象的代数式后退到具体的几何图形来考虑，可知是一条开口向上的抛物线，而是一条平行于轴的直线，综合考察这抛物线的顶点和这条直线的位置关系，本题的解法就明朗化了． 解：如图所示，是一条开口向上的抛物线，当其顶点在直线下方时，原不等式有无穷多个解；当其顶点在直线上方时，原不等式无解；只有当且仅当项点落到直线上时，原不等式恰有一个解．此时抛物线的顶点为时，不等式恰有一个解． 三、从“整体”向“局部”退 有些数学问题从整体上不易解决，我们可以考虑从局部下手，常常也能促使问题得到解决． 例3、已知． 解：我们从局部入手，＝，所以只需深入分析左边三项与右边各对应部分的大小关系即可． ， ． 同理，， ， 　 四、由“高维”向“低维”退 从“高维”向“低维”后退的思想方法常用于解立体几何题，即把三维空间图形问题转化到二维的平面图形问题，即所谓的降维法．类似地在解高次、多元方程（组）的降次，消元，等都是从“高维”向“低维”后退的思想方法的体现． 例4、如图（1），四面体中，六条棱长的和等于，试求这个四面体的最大体积。 分析：我们根据从“高维”向“低维”后退的思想，用平面上的多边形问题作为类比对象，找到一个类似的“低维问题”如图（2），考虑 ，且使三条边长的和等于，求这个三角形的最大面积。 我们知道，当该三角形是等腰直角三角形时，面积达到最大值。由此对本题自然可作出类比猜想：当PA=PB=PC时，是所求体积最大的四面体。 为了解决这个问题，首先我们先考虑类比问题的解法：设的面积 ,由此解出S，再通过讨论等号成立的条件，就可求得S的最大值。 下面我们再利用求解类比问题结论的方法，来证实前面的猜想：设，则四面体的体积于是 ， 当时，上式等号成立，最大，从而V也达到最大，此时， 。 从以上的分析来看，“退一步”真的是海阔天空，那么“进一步”就寸步难行吗？不然．解题时，如果把维数低，抽象水平弱的，或特殊的，局部的问题转化成抽象水平或整体性较强的，更具有一般性的问题来处理，再回到原问题，不仅也能使一些问题绝处逢生，还能深化学生思维，提高他们观察、建模、创新的能力． 五、从“局部”进到“整体” 对事物的认识既要注意“微观”又要把握“宏观”，这样才能避免片面性，全面地认识问题．因此对某些“局部性”的问题，扩展到整体以后来解决，往往能更好地利用整体的调控作用． 例5、3个的正方形，被连接两条邻边的中点的直线分成A、B两片，如图1，把这6片粘在一个正六边形的外面如图2，然后折成一个多面体，如图3，试求其体积．（美国第三届数学邀请赛第15题） 分析：如图3，把立体图形从局部考虑，分割为一个正六棱锥与3个三棱锥的体积之和，通过一个一个计算可获得其解，但将局部所求几何体，通过补形，补成一个正方体，如图4，则所求体积是正方体体积的一半，即 六、从“少”进到“多” 我们知道，在解有关几个变量的的问题时，为使研究方便，可考虑增设参数来沟通变量之间的关系，也可根据结构直接增设与之相似的表达式．从变量的个数或表达式来讲已增多了，但这种增多却有益于问题的解决． 例6、已知． 分析：此题如果先根据条件分别求出的值，再代入求值，那是相当麻烦的．事实上，根据已知条件的结构，可增设方