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四色定理的充分必要条件 我们知道在平面内，至多存在四个两两相邻的区域，但是这个命题并不是四色定题，至多存在四个两两相邻的区域是四色定理的必要条件，但不是充要条件。在有限个区域中着色是可以只用4种，但如果有限个区域之间区域不重复，怎么证明拼成大区域时，这些有限个区域之间的边界区域不会着相同的颜色？ 问题一：在平面地图中，一个国家最多能有多少个国家与之区域邻接？ 答案是不确定的，一个国家可以与很多个国家与之区域邻接。如果我们根据命题‘在平面上，至多存在四个两两相邻的区域’的成立就说，一个国家最多可以与另外三个国家与之区域邻接，显然这是不对的。因为国家与国家之间的区域邻接不一定非要一一相互邻接。一一相互区域邻接只是国家与周围国家之间区域邻接的一种。国家与与周围国家之间的区域邻接海可以是非一一相互区域邻接。 就是说，在平面地图中，国家与与周围国家之间的区域邻接有两种，一种是一一相互区域邻接；另一种是非一一相互区域邻接。这样我们就可以对平面地图进行种类划分，1，地图是由一一相互区域邻接的国家组成；2，地图是由非一一相互区域邻接的国家组成，3，地图由一一相互区域邻接的国家与非一一相互区域邻接的国家组成。【注：这里一一相互区域连接指的是三个或三个以上国家的时候，不包括两个国家。】 问题二：如果任何一个国家与它邻接区域或说国家的染色都是不同的时候，是不是任何两个邻接区域的颜色就是不同的？ 对于问题二我认为是的，如果地图上任何一个国家与它邻接区域的染色是不同的，那么任何两个邻接区域的颜色就是不同的。 显然，至多存在四个两两相邻的区域的命题不能证明在一个地图中，任何一个国家与它邻接区域的染色是不同的。 如果有限个区域之间区域不重复，怎么证明拼成大区域时，这些有限个区域之间的边界区域不会着相同的颜色？ 我认为对四色定理的证明可以分为1，如何证明任何一个国家的颜色与它邻接区域的染色是不同的？2，然后证明，如果任何一个国家的颜色是不同的时候，是不是只需要四种颜色就可以全部描述。首先，地图是由一一相互区域邻接的国家组成的时候。大家都能够证明一个国家最多与三个国家一一相互区域邻接，即两两区域邻接的国家不能超过四个，一一相互区域邻接的国家可以是三个，可以是四个，这样在地图全是由相互区域邻接的国家组成的时候，任何一个国家都是与周围的国家是一一相互区域邻接的国家，一个国家最多与三个国家同时接触，这样用四种颜色就可以描述出任何一个国家与与周围的国家的颜色，使之不相同。由于任何一个国家与它区域邻接国家的染色都是不同的时候，只需要四种颜色就可以描述出来，所以如果使地图上每两个邻接区域染的颜色都不一样，只需要四种颜色。所以四色定理成立。 以下括号中内容可跳过。 （有符合都是一一相互区域连接的国家组成的地图吗？答案是肯定的，当地图中国家个数非常少的时候，就可以保证国家是一一相互区域连接的国家。例如地图是三个国家一一相互区域连接的时候，例如四个国家一一相互区域连接的时候。假设地图是由n个都是四个一一相互区域连接的国家组成的，此时，如果符合国家之间是一一相互区域连接的，那么任何一个国家都最多与三个国家一一相互区域连接，最多用四种颜色就可以使一个国家与它周围的国家的颜色都是不同的，所以在这个地图中用四种颜色就可以使每两个邻接区域染的颜色都不一样。问题是n个都是四个一一相互区域连接的国家组成的地图中，每个小版块与小版块的组成的时候，国家与周围国家不一定是一一相互区域连接。有可能是非一一相互区域连接。 如何证明国家之间是非一一相互区域连接只需要四种颜色就可以使每两个邻接区域染的颜色都不一样？在四个国家一一相互区域的地图中为什么只需要四种颜色？因为任何一个国家只能与三个国家区域连接，任何一个国家用四种颜色可以使国家与周围国家的颜色是不同的。在这里任何一个国家都是平等的，都是相同的，都只能与三个国家区域连接。只要保障每一个国家都是相同的即只能与三个国家区域连接，那么四色定理就成立。在这里‘每一个国家都是相同的’就是充分必要条件，在这里‘至多只能四个国家一一相互区域连接’就是充分必要条件。） 地图是由非一一相互区域邻接的国家组成的时候，如何证明只需要四种颜色就可以使每两个邻接区域的颜色都不一样？ A,任何一个国家都是与n个国家相连接的，即与一个国家相连接的国家个数有n个。n可以是任意整数。任何一个国家都是占据一个颜色的;B, 这个国家与所有连接国家的关系：1，所有连接的国家组成闭合区域，2，所有连接的国家没有组成闭合区域;C, 任意选择一个国家，如果国家的邻接国家颜色都是不一样的，那么用于邻接国家的颜色的个数与邻接国家的个数n有什么关系？a，当与这个国家所有连接的国家组成闭合区域的时候，所有连接的国家中任选一个为起点，闭合的最后两个国家是接壤的。这样我们得出，当n是1的时候，我们知