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数学解题中的优化假设举例 上海市七宝中学 邓继业 在解题教学中注重优化假设的数学思想与方法，探索解题的思路和规律，能培养学生的直觉思维、发散思维和想象力。 在各类的数学问题中，有许多的题目可由条件和结论的特殊性与一般性的辩证关系，采用优化假设思想，创设新的解题思路，优化解题过程。 优化假设通过恰当的假设处理问题，优化出新的解题方法与思路。优化假设是科学的发现、创造的方法之一，在优化假设过程中，体现了假设、猜想、优化等数学思想，渗透了数学其他的方法和思路，在高考和数学竞赛中有许多数学问题能采用此方法给予解决。 1.假设条件特殊化优化解题思路 一个命题成立，则属于该命题的任一特例也成立，在解题过程中，可以先假设条件在特殊情形下，寻找到解题思路再导出较一般情形下的解决的方法。 例1如果直线l沿X轴负方向平移3个单位，再沿Y轴正方向平移1个单位，又回到原来的位置，那么直线l的斜率为（）。 （A）-1/3（B）-3（C）1/3（D）3 分析假设A（a,0）是l上的一点，平移后的对应点为B(a-3,1)而点B也在直线l上，所以kAB=,选（A） 2.?正六棱锥相邻两侧面所成的二面角的范围是_____ 分析考虑圆锥顶点的特殊情况，假设顶点在沿垂直于底面的直线运动，从底面运动到无穷过，则两侧面所成的二面角从π变化到2π/3，故两侧面所成的二面角的范围是（2π/3，π）。 例3已知左、右两个焦点为F1,F2,P是它左侧分支上一点，P到左准线的距离为d,若y=是它的一条渐近线，是否存在P点，使d，|PF1|,|PF2|成等比数列？若存在，写出P点坐标，若不存在，说明理由。 分析假设符合题意的P(X0,Y0)存在，则X0≤-a，由y=是双曲线的一条渐近线。 有b/a=c=2a,e=2,d=-X0-a/2,|PF1|=ed=-2X0-a,|PF2|=2a+|PF1| =-2X0+a,并且（-2X0-a）2=(-2X0+a)(-X0-a/2)即2X02+4Ax0+3/2a2=0 解得X0=-3a/2或X0=-a/2(舍去)，代入双曲线方程得 Y0=± 所以存在P点，使d，|PF1|，|PF2|成等比数列，P点坐标为（-3a/2,）,(-3a/2,) 对结论不确定的开放性问题，常常出现“是否存在”、“是否变化”的疑问句，解存在性问题，可先假设结论是肯定的，再进行推理论证。 2假设条件一般化优化解题环境 某一问题在特殊情形下成立，我们可假设取消部分限制，在一般情形下对命题进行推广，得出一般结论，从而达到解决问题的目的。 例4设P是大于3的素数，M=p2-1,求证：M能被24整除，（上海数学竞赛题） 分析对于大于3的素数P讨论较为困难，可优优假设P是奇数，若能证明对于奇数P成立，则把问题优化为熟悉的情景。 对于大于3的奇数P可表示为P=3+2n(n∈N) 当n=3k(k∈N)时，由表达式（1）得数P不是素数 设n=3k+1或n=3k+2(k∈N)代入（1）得P=6k+5（k∈N） 或p=6k+7(k∈N)(2) 显然（2），（3）中包括了所有大于3的素数，将（2），（3）分别代入M的表达式，可得M=12（3k+2）(k+1)(k∈N)或M=12(3k+4)(k+1),(k∈N) 由此得不论K是奇数还是偶数，（3k+2）(k+1)总是偶数，故M总能被24整除。 因此，P是大于3的素数时，M能被24整除。 3实施数形结合优化解题过程 采用数形结合是优化解题常用的方法，其关键是对题设条件和结论作出正确的几何解释，即要假设出适当的几何图形对解题思路进行提示。 例5若a≥5,0≤β≤2,求（(a-3sinβ)2的最小值。 分析观察等式的结构，由平方关系可假设是直角平面坐标系内二点间的距离问题。假设C1:f(x,y)=0为 C2:g(x,y)=0 为 即：C1:y=x2+5 C2: 问题转化为求C1与C2上距离平方的最小值，由图形知|AB|min=2. 故所求的最小值为4. 4假设参数变量优化解题方案 引入参数可使问题变得清晰明朗，便于思考、运算，假设合理的参数变量，是数学解题中常用的方法。 例6（第七届美国中学生数学竞赛题）设a+b+c+d+e=8,a2+b2+c2+d2+e2=16,求e的最大值。 分析学生对“已知x+y=4,x2+y2=8,求x的最大值和”“已知x+y+z=4,x2+y2+z2=8,求x的最大值”等问题的解决，采用函数法、判别式法均可奏效，但对3个字母以上及推广到n个字母的一般情形则显得茫然，在此，若假设一个新的参数t，使其能将平方关系转化为一次线性关系a22a(te)-(te)2，则问题可简化。 解：由a2≥2a(te)-(te)2 得16=a2+b2+c2+d2+e2≥[2a(te)-(te)2]+[2b(te)-(te)2]+[2c(t