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2010年普通高等学校招生全国统一考试 河北衡水中学三模理数试卷答案 一.选择题： BBCCA CCBDC BB 二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分. 13. 　 14. 25 15. 4 16. （1）（2） 三、解答题： 本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.解：解：(1)∵，共线， ∴(2－2sin A)(1＋sin A)＝(cos A＋sin A)(sin A－cos A)， ∴sin2A＝. 又△ABC为锐角三角形 ∴sin A＝，∴A＝. --------------4分 (2)y＝2sin2B＋cos＝2sin2B＋cos ＝2sin2B＋cos(－2B)＝1－cos 2B＋cos 2B＋sin 2B ＝sin 2B－cos 2B＋1＝sin(2B－)＋1. ∵B∈(0，)，又因为B+A ∴B ∴2B－∈(，). ∴y∈ ………………………………………10分 18． 解：（Ⅰ）投掷一次正方体玩具，上底面每个数字的出现都是等可能的，其概率为 因为只投掷一次不可能返回到A点； 若投掷两次点P就恰能返回到A点，则上底面出现的两个数字应依次为： （1，3）．（3，1）．（2，2）三种结果，其概率为 若投掷三次点P恰能返回到A点，则上底面出现的三个数字应依次为： （1，1，2）．（1，2，1）．（2，1，1）三种结果，其概率为 若投掷四次点P恰能返回到A点，则上底面出现的四个数字应依次为：（1，1，1，1） 其概率为 所以，点P恰好返回到A点的概率为┅┅┅┅┅┅7分 （Ⅱ）在点P转一圈恰能返回到A点的所有结果共有以上问题中的7种， 因为，，， 所以， ┅┅┅┅┅┅┅┅12分 19.解法一:(1)∵PA⊥平面ABCD, BD平面ABCD, ∴BD⊥PA. ……2分 又， ∴∠ABD=30,°∠BAC=60° ∴∠AEB=90°，即BD⊥AC ……4分 又PAAC=A, ∴BD⊥平面PAC. ……6分 (2)过E作EF⊥PC,垂足为F,连结DF, ∵DE⊥平面PAC,EF是DF在平面PAC上的射影,由三垂线定理知PC⊥DF, ∴∠EFD为二面角A—PC—D的平面角. ……9分 又∠DAC=90°—∠BAC=30° ∴DE=ADsin∠DAC＝1， AE＝ABsin∠ABE＝， 又AC＝， ∴EC=, PC=8. 由Rt△EFC∽Rt△PAC得 在Rt△EFD中,， ∴.∴二面角A—PC—D的大小为. ……12分 解法二:(1)如图,建立坐标系,则 ……2分 ∴，∴，……4分 ∴BD⊥AP, BD⊥AC, 又PAAC=A∴BD⊥平面PAC. (2)设平面PCD的法向量为, 则, ……6分 又, ∴, 解得 ∴ ……8分 平面PAC的法向量取为, ……10分 ∴二面角A—PC—D的大小为. ……12分 20. 解：（I） ……3分 因为上为单调增函数，所以上恒成立. 所以a的取值范围是 …………7分 （II）不妨设 即证只需证 …………11分 由（I）知上是单调增函数，又， 所以 ………12分 21.解：（Ⅰ）因为圆的圆心是，所以椭圆的右焦点为，椭圆的离心率是，，所以椭圆方程为。……………………4分 （Ⅱ）设， 由，得或（舍），.……5分 直线的方程：，化简得。 又圆心到直线的距离为， 化简得： ……………7分 同理:,，……………………9分 在椭圆上,…………11分 ，（舍）或 所以，此时点的坐标是.……………………12分. 22. 【解析】（1）因为,所以，解得（舍），则 又，所以 …………4分 （2）由，得， 所以,则由，得 而当时，，由（常数）知此时数列为等差数列…8分 （3）因为，易知不合题意，适合题意………………9分 当时，若后添入的数2 = cm + 1，则一定不适合题意，从而cm + 1必是数列中的某一项，则 即．也就是， 易证k=1，2，3，4不是该方程的解，而当n≥5时，成立，证明如下： 1°当n = 5时，，左边＞右边成立； 2°假设n = k时，成立， 当n = k + 1时， ≥（k+1）2+（k+1）–1+5k–k–3=（k+1）2+（k+1