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《圆的证明与计算》 一、重要考点： 考点（一） 垂径定理及推论： 1、垂径定理：垂直于弦的直径 ，并且平分弦所对的 2、推论：平分弦（ ）的直径 ，并且平分弦所对的 【名师提醒：1、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的 线 、垂径定理常用作计算，在半径r弦a、弦心d和h中已知两个可求另外两个】 、圆心角、弧、弦之间的关系： 定理：在 中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量 它们所对应的其余各组量也分别 【名师提醒：注意：该定理的前提条件是“在同圆或等圆中”】 圆周角定理及其推论： 圆周角定理：在同圆或等圆中，弧或等弧所对的圆周角 都等于这条弧所对的圆心角的 推论1、在同圆或等圆中，如果两个圆周角 那么它们所对的弧 推论2、半圆（或）所对的圆周角是 900的圆周角所对的弦是 【名师提醒：作直所对的圆周角是圆中常作的辅助线】切线的性质和判定： ⑴性质定理：圆的切线垂直于经过切点的 【名师提醒：根据这一定理，在圆中遇到切线时，常用连接圆心和切点，即可的垂直关系】 ⑵判定定理：经过半径的 且 这条半径的直线式圆的切线 【名师提醒：在切线的判定中，当直线和圆的公共点标出时，用判定定理证明。当公共点未标出时，可证圆心到直线的距离d=r来判定相切即“连半径，无点作垂直”】 ２、圆面积：； 2、扇形面积： 二、考题形式： 主要以解答题的形式出现,第1问主要是判定切线；第2问主要是与圆有关的计算：①求线段长（或阴影面积）；②求线段比；③求角度的三角函数值（实质还是求线段比）。 三、解题思路与技巧： 1、判定切线的方法： （1）若有公共点，则“连半径，证垂直”。 常见手法有：全等转化；平行转化；推算夹角等； （1）如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB，AD∥OC交⊙O于D点，求证：CD为⊙O的切线； （2）如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于D，点E为BC的中点，连结DE，求证：DE是⊙O的切线. （3）如图，以等腰△ABC的一腰为直径作⊙O，交底边BC于D，交另一腰于F，若DE⊥AC于E（或E为CF中点），求证：DE是⊙O的切线. （4）如图，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF，交⊙O于点E，过点E作直线ED⊥AF，交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C，求证：CD是⊙O的切线. （2）若无公共点，则“作垂直，证d=r”。 1．（2013，湖北孝感，）如图，AB是⊙O的直径，AM，BN分别切⊙O于点A，B，CD交AM，BN于点D，C，DO平分∠ADC． 求证：CD是⊙O的切线； 如图，AB是⊙O的直径，M是OA上一点，过M作AB的垂线交AC于点N，交BC的延长线于点E，直线CF交EN于点F，且∠ECF=∠E． （1）CF是⊙O的切线； （2）设⊙O的半径为1，且AC=CE，求的长． (枣庄满分分) 在的直径的延长线上，点在上，且AC=CD， ∠ACD=120°. （1）求证：是的切线； （2）若的半径为2，求图中阴影部分的面积. B)构建矩形转化线段（常作的辅助线作直所对的圆周角 典例．如图，Rt△ABC，以AB为直径作⊙O交AC于点D， ，过D作AE的垂线，F为垂足. （1）求证：DF为⊙O的切线； （2）若DF=3，⊙O的半径为5，求的值. ．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，以AB上一点O为圆心过B、D两点作⊙O，⊙O交AB于点一点E，EF⊥AC于点F. （1）求证：⊙O与AC相切； （2）若EF=3，BC=4，求的值. (淄博，21，9分)已知：△ABC是边长为4的等边三角形，点O在边AB上，⊙O 过点B且分别与边AB，BC相交于点D，E，EF⊥AC，垂足为F. （1）求证：直线EF是⊙O的切线； （2）当直线DF与⊙O相切时，求⊙O的半径. 举一反三2．o时，求图中阴影部分的面积． （3）建模思想：借助基本（全等、相似）图形的结论发现问题中的线段关系，把问题分解为若干基本图形的问题，通过基本图形的解题模型快速发现图形中的基本结论，进而找出隐藏的线段之间的数量关系 例3（2011?菏泽）如图，BD为⊙O的直径，AB=AC，AD交BC于点E，AE=2，ED=4， （1）求证：△ABE∽△ADB； （2）求AB的长； （3）延长DB到F，使得BF=BO，连接FA，试判断直线FA与⊙O的位置