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圆的相关概念及垂径定理学习目标：学法建议：学习内容精析：一、圆的定义作：圆O．　　圆心为O，半径为r的圆，可以看作是所有到定点O距离等于定长r的点组成的图形．　　要确定一个圆，需要定圆心、定半径．圆心相同的圆叫同心圆．半径相等的几个圆叫等圆．　　问题：为什么车轮做成圆形?　　把车轮做成圆形，车轮上各点到圆心的距离都等于圆的半径，当车轮在地面上滚动的时候，车轮中心与平面的距离保持不变，因此，当车在平坦的路上行驶时，坐车的人会感到非常平稳．二、圆的有关概念，读作弧AB．　　圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆，任意一条非直径的弦的两个端点把圆分成两条弧，大于半圆的叫做优弧，小于半圆的叫做劣弧．　　为了区分，一般优弧用三个大写字母表示，记作.　　一条弦对两条弧．　　能够完全重合的两条弧叫做等弧．等弧包含着两层意思，既要弧度等，又要长度等，所以等弧只在同圆或等圆中出现．　　例1：如图，A、B、C为⊙O上的三点，AB为直径，OD⊥BC于D，OD=3，求弦AC的长度.　　分析：图中有什么基本图形?　　　　　有什么基本图形中的元素?　　　　　猜想已知线段与所求线段有什么关系?　　　　　需要什么?　　解：连接OC　　　　∵ OC=OB，OD⊥BC于D　　　　∴ BD=DC　　　　∵ BO=OA　　　　∴ AC=2OD=6　　小结：　　1．同圆或等圆的半径相等，是圆中一个隐藏的数量关系，在同圆中，见到两条半径就要想到等腰三角　 　　形．　　2．圆中计算和证明的难点，在于直线形中的定理和圆中的定理的综合运用，见到一条线段或一个角要　 　　分析是圆中的什么元素，是直线形中的什么元素，并在两种基本图形之间进行转化．圆中的特殊的　 　　数量关系提供条件，在直线形中进行计算，是这一章计算问题的常规思路．三、圆的轴对称性：四、垂径定理：　　已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB于E．　　求证：AE=EB，，．　　证明：连结OA、OB，则OA=OB　　 　　 ∵ CD⊥AB　　 　　 ∴ 直线CD是等腰△OAB的对称轴，又是⊙O的对称轴　　 　　 ∴ 沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，　　 　　 　 A点和B点重合，AE和BE重合，、分别和、重合　　 　　 ∴ AE=BE，，．　　从而得到圆的一条重要性质：　　垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．　　几何符号语言表述：⊙O中，∵ CD是直径，AB是弦，CD⊥AB于E　　∴ AE=EB，，．　　分析定理：这个定理的条件、结论分别是什么?　　为了便于理解可以叙述为：　　如果一条直线满足过圆心、垂直弦，一定可以平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧．　　主语是一条直线，两个条件推三个结论．可以利用垂径定理来证明线段等和弧等．　　垂径定理的推论：　　如果把定理的条件和结论换一换：如果一条直线过圆心、平分弦(不是直径)，会得到什么结论?　　平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．　　几何符号语言表述：⊙O中，∵ CD是直径，AB是非直径的弦，AE=EB　　∴ CD⊥AB于E，，．　　为了便于理解可以叙述为：　　如果一条直线满足过圆心、平分弦(非直径)，一定可以垂直弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧．　　需要特别注意：　　“平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧”这句话对吗?为什么?　　垂径定理及推论是圆的轴对称性的具体体现，用来证明线段等、弧等、垂直关系．　　例2：(1)如何把一条弧二等分?　　分析：利用圆的轴对称性，点A、点B为对称点，对称轴是对应点连线的垂直平分线，所以作弦AB的垂直平分线就可以把弧二等分．　　思考：如何把一条弧四等分?　　(2)利用上面的结论，如何确定一条弧的圆心?　　分析：圆的对称轴即直径所在直线，两条直径的交点即圆心．　　例3：解决赵州桥的半径问题.　　分析：首先，把实际问题转化为数学问题　　桥拱是圆弧形，以O为圆心，R为半径画出一段圆弧表示桥拱，弦AB表示桥的跨度，即AB=37.4米，的中点C到线段AB的距离为7.2米．如何确定点C呢?对于，如果经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为垂足，并延长交于点C，那么根据垂径定理可知，OD平分弦AB，0C平分，即C点为的中点，CD就是拱高，这样做出的图形符合题意．　　解：如图，用表示主拱桥，设AB所在圆的圆心为O，半径为R　　　　过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足．OC与相交于点C，　　　　则D是AB的中点，C是的中点，CD就是拱高．　　　　AB=37.4，CD=7.2　　　　AD=AB=18.7　　　　OD=OC-C