[垂径定理及线圆关系.docxVIP

垂径定理教学重点及难点重点：掌握垂径定理的内容并初步学会运用.难点：垂径定理的探索和证明.1、思考如图，CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，且AB⊥CD，垂足为M，则图中有哪些相等的量？为什么？（学生观察，猜想，并得出以下结论）①CO=DO（同圆的半径相等）②AM=BM,弧AD=弧BD，弧AC=弧BC（如何证明？）（学生讨论，并得出推导过程，教师板书）联结OA、OB，则OA=OB.∵ AB⊥CD,∴ AM=BM（等腰三角形三线合一）, ∠AOD=∠BOD,∴ 弧AD=弧BD（同圆中，相等的圆心角所对的弧相等）.∵ ∠AOC=∠BOC,∴ 弧AC=弧BC.2、定理：如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，且平分这条弦所对的弧.3、例题分析例1 已知：如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB交小圆于点C、D两点，求证：AC=DB 分析：作OH⊥AB，垂足为H例2（赵州桥桥拱问题）1300 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距离，也叫拱形高）为7.2米，求桥拱的半径（精确到0.1米）如图，假设弧AB表示赵州桥的桥拱，桥拱的跨度为37.4米，拱高为7.2米，求桥拱所在圆的半径.（精确到0.1米）1、结合图形解释桥拱的跨度、拱高及弓形的含义.2、如何确定圆心的位置？3、图中哪些表示圆O的半径？4、如何建立等量关系？解：设圆O的半径为R，则OA=OB=OC=R根据题意，AB=37.4，CD=7.2，则OD=∵ OC⊥AB，且OC过圆心∴ AD=AB=18.7在Rt△AOD中，∠ADO=90°∵ AD+OD=OA∴ 18.7+= 答：桥拱所在圆的半径约为27.9米.二、巩固练习1、已知⊙O的弦AB长为10，半径长R为7，OC是弦AB的弦心距，求OC的长.2、已知⊙O的半径长为50cm，弦AB长50cm，求：（1）点O到AB的距离；（2）∠AOB的大小.推论．若（1）过圆心；（2）垂直于弦；则（3）平分弦；（4）平分这条弦所对的弧．结合图形可表示为∵CD是⊙O的直径 （1）AB⊥CD（2）∴AM=BM（3） 弧AD=弧BD（弧AC=弧BC） （4） 将（2）和（3）对调，得到一个命题，∵CD是⊙O的直径 （1）AM=BM（3）∴AB⊥CD（2）弧AD=弧BD（弧AC=弧BC） （4） 将（2）和（4），又得到一个命题．∵CD是⊙O的直径 （1）弧AD=弧BD（弧AC=弧BC） （4） ∴AM=BM（3）AB⊥CD（2）将（1）和（3）对调，得到一个命题；∵AM=BM（3）AB⊥CD（2）∴CD是⊙O的直径 （1）弧AD=弧BD（弧AC=弧BC） （4） 将（1）（2）和（3）（4）同时对调，得到一个命题；∵AM=BM（3） 弧AD=弧BD（弧AC=弧BC） （4） ∴CD是⊙O的直径 （1）AB⊥CD（2）将（1）和（4）对调，得到一个命题；∵弧AD=弧BD（弧AC=弧BC） （4） AB⊥CD（2）∴AM=BM（3）CD是⊙O的直径 （1）在圆中，对于某一条直线“经过圆心”、“垂直于弦”、“平分弦”、“平分弦所对的弧”这四组关系中，如果有两组关系成立，那么其余两组关系也成立。注意：当条件为直线“经过圆心”、 “平分弦”时，还要指出这条弦不是直径，才能推出其余两组关系3、例题分析例3如图，已知C是弧AB的中点，OC交弦AB于点D，ODACB∠AOB=120°，AD=8．求OA的长．AB例4已知弧AB,用直尺和圆规平分这条弧．巩固练习练习1：按图填空：在⊙O中，（1）若MN⊥AB，MN为直径，则______，______，______；（2）若AC=BC，MN为直径，AB不是直径，则______，______，______；（3）若MN⊥AB，AC=CB，则______，______，（4）若 = ，MN为直径，则______，______，______．四、课堂小结　知识：(1)圆的轴对称性；(2)垂径定理及应用．方法：(1)垂径定理和勾股定理有机结合可以计算弦长、半径、弦心距等问题，关键是构造直角三角形——作弦心距；(2)为了更好理解垂径定理，一条直线只要满足①过圆心；②垂直于弦；则可得③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧直线与圆的位置关系教学重、难点重点：直线与圆的三种位置的性质和判定。难点：直线与圆的三种位置关系的研究及运用基本概念：直线与圆有两个公共点　　　直线与圆有唯一公共点　　直线与圆没有交点直线与圆相交　 直线与圆相切　 直线与圆相离　数量特征点与圆的三种位置关系取决于哪两个数据？点与圆的三种位置关系取决于点到圆心的距离ＯＰ和圆的半径r．将二者进行比较得:点P在圆Ｏ外 ＜＝＞ ＯＰ﹥r 点P在圆Ｏ上 ＜＝＞ ＯＰ= r