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基于ARIMA模型与GARCH模型对美国零售与食品服务数据的分析 　　摘要：美国经济是世界经济增长引擎中最重要的一极，而消费在美国经济中占据了最大的比重，甚至可以说，美国的需求直接影响到其他国家乃至全球经济的发展。在反应美国消费的诸多数据中，零售与食品销售数据一直受到广泛关注，是反应美国经济信心的重要指标。本文希望通过时间序列的分析，反映过去的美国零售数据的增长路径，并对未来进行预测。 　　关键词：美国 零售与食品 GRACH 　　一、模型建立 　　由于作者能力有限，本文只尽可能好地拟合并预测出零售和食品销售数据的走势，并不从模型上更深入的探讨外汇变动的理论因果，故单变量时间序列模型可以很好的解决问题。 　　线性差分方程为主要的解决方法，Box-jenkins（1976）提供了经典的回归思路： 　　（3.1） 　　该模型假定时间序列平稳，若不平稳，则将序列差分，变为ARIMA形式进行回归，差分后形式与（3.1）一致。即： 　　（3.2） 　　从模型形式可知，当期变量由自身过去解释，权重为其系数，绝大部分实证数据表明，近期权重较大，滞后期数越长解释力越弱。变量自身不能解释的所有因素，归结为。同样，亦能自我解释，且通常滞后阶数越少，解释力越强。如果该模型已经包含了影响当期变量的所有因素，则根据随机游走假说，由（3.1）（3.2）模型回归后的残差为白噪声。因此，检验是否为白噪声是检验模型拟合优劣的主要手段。 　　当显著地不为白噪声（通常表现为项出现异方差），即仅以自回归的方式不能很好的解释其他因素时，引入ARCH族模型则可以很好的解决问题。 　　Engle（1982）在研究英国通货膨胀时首先使用了ARCH模型，该模型认为，若为回归后的残差项，则应满足下式所示的形式： 　　（3.3） 　　其中为白噪声过程，满足，与相互独立，该模型能很好的解释变量在某时点出现较大的变动，解决了回归模型出现异方差的问题。随后Bollerslev（1986）在对美国的通货膨胀研究中扩展了该模型，变形为广义自回归条件异方差（GARCH）模型，模型假设误差过程为： 　　（3.4） 　　（3.5） 　　其中为白噪声过程，满足，与相互独立，的条件和无条件均值都等于零。（3.5）（3.6）所示的GARCH模型能很好的捕捉时间序列变化的持续性性质。对于频度较高，波动较频繁的数据能很好的拟合，如股票价格，汇率等。 　　二、数据描述 　　（一）样本信息 　　本文采用的数据包含自1991年1月至2010年11月所有的月度零售数据，在此期间美国没有出现比较严重的通货膨胀。数据来源于美联储网站，http：///fred2/ 　　（二）数据加工 　　通过绘制美国零售与食品销售数据的图像，发现指数存在平稳的的递增趋势，因此首先对数据进行了对数处理，并进行DF检验。若DF检验值在置信区间内，则必须接受存在单位根的零假设，也就是说必须对方程进行一次差分。 　　零售与食品销售数据，取对数后的数据以及差分后的数据如下图所示： 　　图1.美国零售与食品销售数据对数的一阶差分 　　在对月数据的对数进行了DF测试后，其值为-3.26979，不能拒绝单位根的零假设。而进行了一阶差分后，DF表明已不存在单位根。 　　三、AR（I）MA模型 　　（一）模型的识别 　　对于AR（I）MA的识别，主要借助于自相关函数（ACF）和偏自相关函数（PACF） 　　图2. 零售与食品销售数据一阶差分的ACF与PACF 　　（二）AP（I）MA模型的回归 　　从图2中看出，ACF函数前四阶比较显著异于0，另外表现出比较明显的季节性。故主要尝试AR（4），MA过程则尝试MA（1），MA（2），MA（1，12），MA（2，12）。我们将借助于BOX-JENKINS检验方法对模型进行筛选，选取出最优的模型。 　　对结果做如下分析： 　　1、ARIMA（4，1，1）与ARIMA（4，1，2）相比，引入MA（2）阶并没有使得残差平方和有效减少，且β1项系数并不显著异于0。ARIMA（4，1，1）与ARIMA（4，1，2）的Q值均表明模型的残差没有自相关性，AIC与SBC指标相近。因此ARIMA（4，1，1）要优于ARIMA（4，1，2）。 　　2、ARIMA（4，1，1.12）与ARIMA（4，1，2.12）相比，在引入MA（2）项后，残差并没有明显的降低，不能假定对数据的解释能力更强。虽然ARIMA（4，1，2.12）比ARIMA（4，1，1.12）的Q值要大，但ARIMA（4，1，2.12）的β2的显著性水平为0.6144，故不能拒绝为0的假设，且AIC和SBC的检验来看，后者稍微更佳，因此选择ARIMA（4，1，1.12） 　　3、最后比较AR