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等差、等比数列的通项公式.doc
等差、等比数列的通项公式
复习目标:掌握等差、等比数列的通项公式。
复习重点:利用方程的思想方法分析和解决数列的有关计算问题。
复习难点:用于实际问题。
教学过程:
(一)知识要点:
等差数列 等比数列 通项公式:
当时,是的一次函数,即;反之,若是关于的一次函数,则此数列是等差数列,其公差就是一次函数中的斜率。 通项公式:,
当时,是关于的指数函数。 通项公式的一个更普遍的公式:
通项公式的一个更普遍的公式:
若,则 若,则 公差 掌握等差、等比数列的递推公式,
(二)例一:
1、等差数列中,已知,则__________
2、在正数等比数列中,已知,则__________
3、在等差数列中,,则__________
4、若,两个数列:和各组成等差数列,那么__________
5、在四个正数中,前三个数成等差,其和为48;后三个数成等比数列,最后一个数为25,则四个数为__________
6、等差数列中,已知,且,则使得它的前项之和取得最大值的自然数
是_________
解:1、,即,
,上述用公式来求得教简便。此题也可以设数列的首项,公差,列出方程组,解得,,也可求得。
第2题与第3题都可运用若,则,,第2题答案为5,第3题答案为。
4、运用,
。
5、设前三个数为,则,得,又后三个数成等比数列,故,故四个数为12,16,20,25。学生应自己思索,如果三个数成等比数列,并知其积,可如何设这三个数?四个数成等比数列,并知其积;四个数成等差数列,并知其和等,以上这些条件下,如何设这些数?
6、抓住等差数列的概念,由题意分析可知,要使
必有等差数列,其中前4项为正,后4项为负,,故使得它的前项之和取得最大值的自然数是6或7。
例二、某校图书馆去年拥有图书量为册,计划从今年起每年平均增长20%,则到后年年底,该校可有图书多少册?
解:分析:去年有书:
今年有书:
明年有书:
后年有书:
是一个首项为,公比为的等比数列。
评析:要正确理解并得出经过了多少次的增长,要求的是该数列中的第几项。
例三、某养鱼场的鱼塘第一年有存鱼量2万条,计划从第二年起每年以25%的增长率培养,而每年又要供应市场万条,问到第七年末,鱼塘中鱼的存量数。
解:第一年:2万条
第二年:
第三年:
第四年:
…………
第七年:存鱼量为:
评析:等差数列与等比数列在现实生活中可以找到许多模型,我们应当重视知识的应用,提高解决问题的能力。
例三、1、已知数列满足以下关系:,求,并求
2、已知数列满足, 求,并求
3、已知数列满足,求
解:1、,即,故是一个以2为首项,公差为3的等差
数列。 ,即。
2、由已知得,即是一个首项为1,公差为1的等差数列。由此,。
3、由,得,, 是首项为,公比为3的等比数列。
评析:利用数列的递推公式求数列的项显得不很方便,特别当项数比较大时,这时常需要将数列的递推公式转化为数列的通项公式,这种转化往往比较复杂,在教材中只要求能将与等差、等比数列有关的递推公式转化为通项公式,而对其他数列没有这种要求。在以后我们将会学习一些用归纳、猜测、论证的方法由递推关系得到通项公式。
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