【世纪金榜】人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套 2.8-新.ppt

考点2 确定函数零点的个数 【典例2】(1)(2013·天津高考)函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数 为　(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 (2)(2014·福建高考)函数f= 的零点个数是　　 . 【解题提示】(1)根据2x|log0.5x|-1=0转化为两个函数g(x)=|log0.5x| 与h(x)= 图像的交点个数问题求解. (2)分段函数采用分段判断,并结合零点的存在性定理确定零点的个数. 【规范解答】(1)选B.函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点即2x|log0.5x|- 1=0的解,即|log0.5x|= 的解,作出函数g(x)=|log0.5x|和函数h(x) = 的图像,由图像可知,两函数图像共有两个交点,故函数f(x)= 2x|log0.5x|-1有2个零点. (2)令x2-2=0,解得x= (舍)或x=- ; 令2x-6+lnx=0,即lnx=-2x+6,在x0的范围内两函数的图像有一个交点,即原方程有一个根. 综上函数f(x)共有两个零点. 答案:2 【易错警示】解决本例题(1)易出现如下三点错误: (1)不能对|log0.5x|化简. (2)不能将问题转化为两个函数的交点问题. (3)函数图像不准确导致失误. 【互动探究】本例(2)中的函数变为 f(x)= 则零点的个数如何? 【解析】当x0时,令g(x)=lnx,h(x)=x2-2x. 画出g(x)与h(x)的图象如图: 故当x0时,f(x)有2个零点. 当x≤0时,由4x+1=0,得x=- , 综上函数f(x)的零点个数为3. 【规律方法】判断函数零点个数的方法 (1)解方程法:令f(x)=0,如果能求出解,则有几个解就有几个零点. (2)零点存在性定理法:利用定理不仅要求函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)·f(b)0,还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质. (3)数形结合法:转化为两个函数的图像的交点个数问题,先画出两个函数的图像,看其交点个数,其中交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点. 【变式训练】1.已知函数f(x)= 则函数y=f(f(x))+1的零 点的个数是　(　　) A.4 B.3 C.2 D.1 【解析】选A.由f(f(x))+1=0可得f(f(x))=-1. 又由f(-2)=f( )=-1, 可得f(x)=-2或f(x)= . 若f(x)=-2,则x=-3或x= ; 若f(x)= ,则x=- 或x= , 综上可得函数y=f(f(x))+1有4个零点. 2.(2015·延安模拟)函数y=lg|x-1|+ 的零点个数是　　　　. 【解析】由函数零点的定义可得:令y=0,即有:lg|x-1|+ =0,整理得: lg|x-1|=- ,又令:y1=lg|x-1|,y2=- ,在同一坐标系内作出这两个 函数的图像,如图所示: 它们有三个交点,则函数有三个零点. 答案:3 【加固训练】1.(2015·湛江模拟)函数f(x)=xcos2x在区间[0,2π]上的零点的个数为　(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 【解析】选D.令f(x)=xcos2x=0, 得x=0或cos2x=0, 故x=0或2x=kπ+ ,k∈Z, 即x=0或x= + ,k∈Z. 又x∈[0,2π],故k可取0,1,2,3, 故零点的个数有5个. 2.已知符号函数sgn(x)= 则函数f(x)=sgn(x-1)-lnx的零点 个数为　(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】选C.依题意得,当x-10,即x1时,f(x)=1-lnx,令f(x)=0得 x=e1;当x-1=0,即x=1时,f(x)=0-ln1=0;当x-10,即x1时,f(x)=-1- lnx,令f(x)=0得x= 1.因此,函数f(x)的零点个数为3. 3.(2014·哈尔滨模拟)已知函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+1)=-f(x),且 当x∈(-1,1]时,f(x)=|x|,函数g(x)= 则函数h(x)=f(x) -g(x)在区间[-5,5]上的零点的个数为　(　　) A.8 B.9 C.10 D.11 【解析】选B.函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+