变分学[精选].ppt

第一个著名变分问题的提出: 1696年, Johann Bernoulli（约翰.伯努利）《教师学报》的公开问题 最速降线的数学描述： 1697年5月《教师学报》同时发表了莱布尼茨、牛顿，以及约翰.伯努利和雅格布.伯努利两兄弟的答案；雅格布.伯努利的答案具有变分学的一般特征。 值得一提的是牛顿的趣闻：当时牛顿已不再专门从事学术研究，为皇家造币厂厂长，仅用一天下班的一个晚上就给出正确答案，并把结果匿名发表在1697年224期的《哲学汇刊》上。尽管匿名，约翰.伯努利看到答案后还是认出作者是牛顿，他惊呼：“我从这锋利的爪痕上认出了这头雄狮” 几何光学定律（雅格布.伯努利的答案的出发点；也用来比较最值） 变分法基本引理（单变量） 引理1：设定义在[a,b]上 的连续函数f(x)，如果对于在[a,b]上两次连续可微，且在a,b为零的任意函数 ,有 多变量变分法基本引理 引理2：设定义在 上的连续函数f(x)，如果对于在 上两次连续可微，且在 为零的任意函数 ,有 泛函(3)的变分的算式： 当函数 取得增量 时，泛函J[y]改变量为 如同数值函数，线性主部称为J[y]在y=y(x)处的变分或一阶变分，记为 其中 记为y(x)的一阶变分. 对第二项分布积分，得到 极值曲线 满足的必要条件是 即: 泛函的一阶变分为零，相当于函数极值的必要条件：全微分为零. 条件极值（等周问题、悬链线模型） 　等周问题的最早提法：在具有相同长的所有平面闭曲线中，求这样一条曲线，使得它所围成的面积最大。 一个古老的传说： 等周问题的数学表述 设在ｘ轴上给定两点A(0,0)、 B(a,0),要求在Ａ、Ｂ间用一定长度（a）连接一光滑弧段Ｃ,使得 C与线段AB之间所围面积最大。 方法一、化为无条件极值： 引入弧长参数 这里 ,考虑 方法二、 直接求法 一般的条件变分问题：设 ， 有连续的二阶偏导数，泛函 满足 等周问题求解： 与上述一般问题相对应， 重积分泛函的变分问题 极小曲面问题：以空间闭曲线为边界的所有曲面中，求其面积最小的。 设以曲线C为边界的一般曲面为 曲面面积公式 经计算得到其Euler方程为 最小位能原理：任何静止的平衡稳定物理系统，其真实状态区别于任何容许状态的在于：真实状态使得其总位能最小。 Hamilton原理：在一定时间区域内，任何力学系统，其真实运动区别于任何容许运动在于：真实状态使得其总能量达到最小。 悬链线问题 一根长度为l的金属细链，两端悬挂在任意的不在同一铅直线的两点上，此金属链呈何种形状？这就是悬链线问题 一个无解的例子 见相应的pdf文件 所以 注：二阶变分根据泛函的极大值和极小值而 得到相应的二阶微分不等式 追溯到古希腊一个传说:Phoenician (非尼基城)的公主Dido(迪多)离开家园，在北非地中海沿岸定居.她花费一定的金钱换来用一张牛皮所能围起来的土地.她把牛皮切成细条连接成一条绳子（绳子的长度是固定的）。为了围处尽可能大的面积，迪多把她的土地选在海边，海岸是一条直线，无须用绳子界定.　据说迪多决定用整条牛皮绳沿海岸围成一个半圆，事实上，也确实是在给定条件下的最大面积。 Dido问题化为：求连续可微函数y=y(x),使得积分 达到最大值，同时满足条件 其中l 是由边界周长所界定的常数。 于是原问题表述为：求y(s)使得积分 解得y(s)后，可求 由此得到所求曲线的参数方程 求上述泛函在函数类D(J)的极值曲线,这里D(J)= {y(x)在[a,b]上有连续的二阶导数，y(a)=c,y(b)=d} 引用条件极值中的Lagrange乘数法，得到如下的 定理：如果在 处，J[y]取得极值，函数 连续且不等于零，则存在常数 ,使得 满足如下的Euler方程 设 为极值函数，对任意的 引进含参量 的函数族 如果 则 于是y=y(x)是一直线，与所属的 函数类矛盾； 如果 不恒为零，所以有 Euler方程 于是 即 于是 等周问题的解： 是通过A、B两点且长度为的圆弧（c,d,\lambda由三个条件确定）。 根