变化率与导数、导数的计算[精选].doc

　变化率与导数、导数的计算 1．导数的概念 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数： 称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 li ＝li 为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝li ＝li . (2)导数的几何意义： 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)·(x－x0)． (3)函数f(x)的导函数：称函数f′(x)＝li 为f(x)的导函数． 2．几种常见函数的导数 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xn(n∈Q) f′(x)＝nxn－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x f(x)＝ax f′(x)＝axln_a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ 3．导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)′＝(g(x)≠0)． 4．复合函数的导数 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 1．f′(x)与f′(x0)有何区别与联系？ 提示：f′(x)是一个函数，f′(x0)是常数，f′(x0)是函数f′(x)在x0处的函数值． 2．曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线与过点，y0)的切线，两种说法有区别吗？ 提示：(1)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，斜率为k＝f′(x0)的切线，是唯一的一条切线． (2)曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过P点．点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条． 3．过圆上一点P的切线与圆只有公共点P，过函数y＝f(x)图象上一点P的切线与图象也只有公共点P吗？ 提示：不一定，它们可能有2个或3个或无数多个公共点． 1．下列求导运算正确的是(　　) A.′＝1＋ B．(log2x)′＝ C．(3x)′＝3xlog3e D．(x2cos x)′＝－2sin x 2．若f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝(　　) A．－4 B．－2 C．2 D．4 3．曲线y＝2x－x3在x＝－1处的切线方程为(　　) A．x＋y＋2＝0 B．x＋y－2＝0 C．x－y＋2＝0 D．x－y－2＝0 4．曲线y＝ax2－ax＋1(a≠0)在点(0,1)处的切线与直线2x＋y＋1＝0垂直，则a＝ A. B．－ C. D．－ 5．(教材习题改编)如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝________. 考点一 导数的计算 　 [例1]　求下列函数的导数： (1)y＝(1－)； (2)y＝； (3)y＝tan x； (4)y＝3xex－2x＋e；(5)y＝. 　 【互动探究】 若将本例(3)中“tan x”改为“sin ”，应如何求解？ 【方法规律】 导数的计算方法 (1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导． (2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导．(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导． (4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导． (5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导． (6)复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导． 求下列函数的导数： (1)y＝；(2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；(3)y＝＋；(4)y＝；(5)y＝＋e2x. [例2]　(1)已知函数f(x)的导函数f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln x，则f′(1)＝ A．－e B．－1 C．1 D．e (2)等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)，则f′(0)＝(　　) A．26 B．29 C．212 D．215 (3)(2013·江西高考)设函数f(x)在(0，＋∞)内可