变质量动力学[精选].doc

变质量动力学 引言 有些物体在运动过程中质量不断增加或减少，譬如火箭在飞行时不断地喷出燃料燃烧后产生的气体，火箭的质量在不断减小，因此飞行中的火箭质量是变化的物体；还有比如不断吸进空气又喷出燃气的喷气式飞机、投掷载荷的飞机、在农业收割机旁不断接收粮食的汽车以及在江河中不断凝聚或融化的浮冰等，都是变质量的物体。要搞清楚他们运动的特征就要将他们简化成物理模型进行研究。一般情况下，当变质量物体作平移，或只研究它们的质心的运动时，可简化为变质量指点来研究。 关键词；变质量 运动学 动量定理 动量距定理 1.变质量指点的运动微分方程 变质量指点的运动微分方程： 设变质量质点在瞬时的质量为，速度为；再瞬时,有微小质量并入，只是指点的质量为,速度为；微小质量在尚未并入的瞬时,它的速度为，以原质点与并入的微小质量组成质点系。设作用于质点系的外力为。 质点在瞬时的动量为： 质点系在瞬时的动量为： 根据动量定理 得 将上式展开得 略去高阶微量，并以除各项，得 或 上式中是微小质量在并入前相对于质点的相对速度，令 则可以得到 上式称为变质量质点的运动微分方程。式中是变量，是代数量。 变质量质点的运动微分方程是求解变质量质点运动规律的基本方程。其中常称为反推力。 两种常用的质量变化规律 1.质量按线性规律变化。 设变化规律为 , 式中, 皆为常数，该式代表质量随时间变化呈线性关系。由知，其反推力为 由上式可知，当为常量时，反推力也为常量，且与方向相反。 质量按指数规律变化。 设变化规律为 式中，全为常数。由知，其反推力为 令表示仅在反推力作用下变质量质点的加速度 则当为常量时，也是常量，即由反推力而引起的加速度为常量。 2.变质量质点的动力学普遍定理 1.变质量指点的动量定理 变质量质点在任一瞬时的动量，其中是时间的函数， 将动量对时间求导得 得出 记并入（或放出）质量的绝对速度为，即 则有 记 称为由于并入（或放出）质量的绝对速度引起的反推力，它具有力的量纲且能改变质点的动量。得出： =+ 上式称为变质量质点动量定理的微分形式：变质量质点的动量对时间的导数，等于作用于其上的外力与由于并入（或放出）质量的绝对速度而引起的反推力的矢量和。 将上式积分，设=0时质点质量为，速度为，得 =+=+ 上式称为变质量质点动量定理的积分形式。 2.变质量质点的动量矩定理 变质量质点对任一点的动量矩为 式中为从点指向该质点的矢径，点为定点。将上式对时间求导，得 ==+= 上式称为变质量质点的动量矩定理：变质量质点对某定点的动量矩对时间的导数，等于作用于质点上外力的合力对该点之矩与由于并入（或放出）质量的绝对速度引起的反推力对该点力矩的矢量和。 3.变质量质点的动能定理 变质量质点动量订立的微分形式可以写为 += + 将上式各项点乘，得 由于，因此上式可以写为 或 上面两式称为变质量质点的动能定理：变质量质点的动能微分与放出（或并入）的元质量由于其牵连速度而具有的动能的代数和，等于作用于质点上外力合力的元功与由于并入（或放出）质量 的绝对速度引起的反推力所作的元功之和。 实际问题中的变质量质点的动量定理及动量矩定理 日常生活或工程实践中，常会遇到质量不断变化的质点系，例如，向外喷射气体的火箭、吸入空气同时又喷出燃气的喷气式飞机、冻结或融化中的浮冰等．有的是不断地并入质量，有的是不断地放出质量，有的既并入又放出质量，这样的质点系称为变质量物体．变质量问题是理论力学研究的一个重要内容。 通常用到的几个变质量物体运动方程 1. 变质量物体的平动运动方程 该式是研究变质量问题的一个基本方程，简称密歇尔斯基方程。 2. 变质量物体绕定点转动的运动方程 上式中叫合外力距，叫反推力矩，叫向心力距。 3. 变质量物体绕定点做一般曲线运动的方程 式中称为切向力矩。 例：用手拿住均匀链条