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固体物理 课后习题解答(黄昆版)第四章[精选].doc

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4.1,根据 k 黄昆 固体物理 习题解答 第四章 能带理论 = ± π 状态简并微扰结果,求出与 E? 及 E+相应的波函数ψ ? 及ψ+?,并说明它 a 们的特性.说明它们都代表驻波,并比较两个电子云分布 ψ2说明能隙的来源(假设Vn=Vn*)。 <解>令 k = + π , k′ = ? π ,简并微扰波函数为ψ = Aψk0  ( )  + Bψk0  ( ) 0 a  * a ?E k( ) ? E A V Bn= 0 0 ( ) V An+ ?E k ? E B? =  0  取 E E+ 带入上式,其中 E+= E k  0( )+ Vn V(x)0,Vn 0 ,从上式得到 B= -A,于是 A ? nπ  ?  nπ  ?  π ψ = A ?ψ 0( )?ψk0′( )? = i x e a ? e i x a =2Asinnx + ? k ? L ? ? ? L a 取 E E? , E?=E k  0( )? Vn  V An= ?V Bn,得到A B A ? inπx?inπx?  π ψ = A ?ψ 0( )?ψk0′( )? = e a ? e a =2Acosnx ? ? k ? ? L ? ? ? L a 由教材可知,Ψ+及 Ψ ? 均为驻波. 在驻波状态下,电子的平均速度ν ( ) 为零.产生 驻波因为电子波矢 n k π = 时,电子波的波长 a λ =2π=2a ,恰好满足布拉格发射条件,这 k n 时电子波发生全反射,并与反射波形成驻波由于两驻波的电子分布不同,所以对应不同代入 能量。 4.2,写出一维近自由电子近似,第 n 个能带(n=1,2,3)中,简约波数 k π = 的 0 级波函数。 2a 1 1 r 2π 1 π 2π 1  i 2π 1  x i mx i x i mx (m+ ) ψ * <解> ( ) = ikx = e ikx a e e = e 2a ? e a = e a 4 k L ? π= L  * L π 1 i2x L 第一能带: m 0, m = 0,ψ ( ) = e a 2a b b′则b′ →  , k 2π ? = ? L 2π  ,  m = ?1,  i  2π  x  i  π  ∴ψ *( )=  1  3π i x e 第二能带: a a 即 (e a =e )2a k L 2a 2π  2π  1  π  2π  1  5π 第三能带: c′ → , ? = a a 即m = , * 1,ψk( ) = L i x i x e 2a ?e a = L i x e 2a 解答(初稿)作者 季正华 - 1 - 4.3 电子在周期场中的势能. 黄昆 固体物理 习题解答 1 2 2 2 2 mω ?b ? ?( x na ? ) , 当na b x na b+ V x( ) = 0 , 当(n-1)a+b ≤ ≤x na b? 其中 d=4b, ω 是常数.试画出此势能曲线,求其平均值及此晶体的第一个和第二个禁带 度. <解>(I)题设势能曲线如下图所示. (2)势能的平均值:由图可见,  V x( ) 是个以 a 为周期的周期函数,所以 V x ( )  = 1  ∫ V x L( )  = 1  ∫  a  ( )  = 1  a b  ( ) L a b a ∫?b 题设 a = 4b ,故积分上限应为 a b? = 3b ,但由于在 [b b,3 ] 区间内 [? , ] 区间内积分.这时, n = 0 ,于是 V x( ) 0= ,故只需在 =  1  ∫  b  =  mω 2  ∫  b  2 2  =  mω2 ?  2  b ?  1  x3b  ?  =  1  mωb2 V ( ) b ? x dx) ( b x ?

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