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4.1,根据 k
黄昆 固体物理 习题解答
第四章 能带理论
= ± π 状态简并微扰结果,求出与 E? 及 E+相应的波函数ψ ? 及ψ+?,并说明它
a
们的特性.说明它们都代表驻波,并比较两个电子云分布 ψ2说明能隙的来源(假设Vn=Vn*)。
<解>令 k
= + π , k′ = ? π ,简并微扰波函数为ψ = Aψk0
( )
+ Bψk0
( )
0
a
*
a
?E k( ) ? E A V Bn= 0
0 ( )
V An+ ?E k ? E B? =
0
取 E E+
带入上式,其中 E+= E k
0( )+ Vn
V(x)0,Vn 0 ,从上式得到 B= -A,于是
A ? nπ
?
nπ
?
π
ψ
= A ?ψ 0( )?ψk0′( )? =
i x
e a
? e
i x
a
=2Asinnx
+
?
k
?
L ?
?
?
L
a
取 E E? , E?=E k
0( )? Vn
V An= ?V Bn,得到A B
A ? inπx?inπx?
π
ψ
= A ?ψ 0( )?ψk0′( )? =
e a
? e
a
=2Acosnx
?
?
k
?
?
L ?
?
?
L
a
由教材可知,Ψ+及 Ψ ? 均为驻波. 在驻波状态下,电子的平均速度ν ( ) 为零.产生
驻波因为电子波矢
n
k π
= 时,电子波的波长
a
λ =2π=2a ,恰好满足布拉格发射条件,这
k n
时电子波发生全反射,并与反射波形成驻波由于两驻波的电子分布不同,所以对应不同代入
能量。
4.2,写出一维近自由电子近似,第 n 个能带(n=1,2,3)中,简约波数 k π
= 的 0 级波函数。
2a
1
1
r
2π
1
π
2π
1
i
2π 1
x
i mx
i x i mx
(m+ )
ψ *
<解>
( )
=
ikx =
e
ikx a
e e
=
e
2a
? e
a
=
e
a
4
k
L
? π=
L
*
L
π
1 i2x
L
第一能带: m
0, m = 0,ψ ( ) =
e
a
2a
b b′则b′ →
,
k
2π
? = ?
L
2π
,
m = ?1,
i
2π
x
i
π
∴ψ *( )=
1
3π
i x
e
第二能带:
a
a
即
(e a =e )2a
k
L
2a
2π
2π
1
π
2π
1
5π
第三能带:
c′ →
,
? =
a
a
即m =
,
*
1,ψk( )
=
L
i x i x
e 2a ?e a
=
L
i x
e 2a
解答(初稿)作者 季正华 - 1 -
4.3 电子在周期场中的势能.
黄昆 固体物理 习题解答
1
2 2
2
2
mω ?b ? ?( x na ?
) ,
当na b x na b+
V x( ) = 0 ,
当(n-1)a+b ≤ ≤x na b?
其中 d=4b, ω 是常数.试画出此势能曲线,求其平均值及此晶体的第一个和第二个禁带
度.
<解>(I)题设势能曲线如下图所示.
(2)势能的平均值:由图可见,
V x( ) 是个以 a 为周期的周期函数,所以
V x
( )
=
1
∫ V x
L( )
=
1
∫
a
( )
=
1
a b
( )
L
a b
a ∫?b
题设 a = 4b ,故积分上限应为 a b? = 3b ,但由于在 [b b,3 ] 区间内
[? , ] 区间内积分.这时, n = 0 ,于是
V x( ) 0= ,故只需在
=
1
∫
b
=
mω 2
∫
b
2 2
=
mω2 ?
2
b ?
1
x3b
?
=
1
mωb2
V
( )
b ? x dx)
(
b x
?
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