多元函数极限[精选].ppt

第一节 多元函数 预备知识 多元函数的概念 多元函数的极限 多元函数的连续性 function of many variables 预备知识 平面点集 坐标面 坐标平面上具有某种性质P的点的集合, 称为 平面点集, 记作 邻域 设P0(x0, y0)是 xOy 平面上的一个点, 几何表示： O x y . P0 令 有时简记为 称之为 ① 将邻域去掉中心, ② 也可将以P0为中心的某个矩形内(不算周界) 注 称之为 的全体点称之为点P0邻域. 去心邻域. (1) 内点 (2) 外点 如果存在点P的某个邻域 则称P为E的 外点. (3) 边界点 如点P的任一邻域内既有属于E的点, 也有不属于E的点, 称P为E的边界点. 任意一点 与任意一点集 之间 必有以下三种关系中的一种: 设E为一平面点集, 若存在 称P为E的 内点. E的边界点的全体称为E的 边界. 使U(P) ∩ E = ?, 聚点 若点P的任一去心邻域内总有E中的点 则称P是E的 聚点. (P本身可属于E,也可不属于E ), 平面区域(重要) 设D是点集. 连通的开集称区域 连通集. 如对D内任何两点, 都可用折线连 且该折线上的点都属于D, 称D是 或开区域. 开集 若E的任意一点都是内点, 例 称E为开集. E1为开集. 结起来, 开区域连同其边界,称为 有界区域 否则称为 总可以被包围在一个以原点为中心、 适当大的圆内的区域, 称此区域为 半径 (可伸展到无限远处的区域 ). 闭区域. 有界区域. 无界区域 O x y O x y O x y O x y 有界开区域 有界半开半闭区域 有界闭区域 无界闭区域 按着这个关系有确定的 点集D称为该函数 称为该函数的 则称z是x, y的 定义 若变量z与D 中的变量x, y之间有一个依赖关系, 设D是xOy平面上的点集, 使得在D内 每取定一个点P(x, y)时, z值与之对应, 记为 称x, y为 的 数集 二元(点)函数. 称z为 自变量, 因变量, 定义域, 值域. 多元函数的概念 二元及二元以上的函数统称为 记为 函数 在点 处的函数值 或 类似, 可定义n元函数. 多元函数. 最后指出, 从一元函数到二元函数, 在内容 和方法上都会出现一些实质性的差别, 而多元 函数之间差异不大. 因此研究多元函数时, 将以 二元函数为主. 解 O x y 定义域是 例 求下面函数的定义域 二元函数的几何意义 研究单值函数 二元函数的图形通常是一张 曲面. 多元函数的极限 讨论二元函数 怎样描述呢? O x y (1) P(x, y)趋向于P0(x0, y0)的 路径又是多种多样的. 注 方向有任意多个, O x y (2) 变点P(x,y) 总可以用 来表示极限过程: 与定点P0(x0,y0)之间的距离记为 不论 的过程多复杂, 记作 定义1 有 成立. 的极限. 设二元函数 P0(x0, y0)是D的聚点. 的定义 义域为D, 如果存在常数 A, 也记作 则当 例 证 取 有 证毕. 相同点 多元函数的极限与一元函数的极限的 一元函数在某点的极限存在的充要 定义相同. 差异为 必需是点P在定义域内以任何方式和途径趋 而多元函数 于P0时, 相同点和差异是什么 条件是左右极限都存在且相等; 都有极限, 且相等. 当P(x, y) 沿直线 y = kx 的方向 其值随k的不同而变化. 所以,极限不存在． 无限接近点(0,0)时, 设函数 证明: 例 极限 是否存在？ 取 解 所以，极限不存在. 取 例 求极限 解 其中 例 求极限 解 将分母有理化,得 多元函数的连续性 设二元函数 则称函数 定义2 P0(x0, y0)为D的聚点, 且 P0∈D. 如果 连续. 如果函数 f (x, y) 在D内的每一点连续, 则称函数 在D内连续, 或称函数 是 D内的连续函数. 的定义域为D, 称为多元初等函数, 积、商（分母不为零）及复合仍是连续的. 同一元函数一样, 多元函数的和、差、 每个自变量的基本初等函数经有限次四则 运算和有限次复合, 由一个式子表达的函数 处均连续. 在它们的定义域的内点 有界闭区域上连续的多元函数的性质 至少取得它的最大值和最小值各一次． 介于这两值之间的任何值至少一次． (1) 最大值和最小值定理 (2) 介值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数, 在D上 在有界闭区域D上的多元连续函数, 如果 在D上取得两个不同的函数值, 则它在D上取得 想一想