bs期權定价与二叉树期权定价.doc

第三节 Black-Scholes期权定价模型 一 与期权定价有关的基本假设: （一）.关于金融市场的基本假设 假设一:市场不存在摩擦.这就是说金融市场没有交易成本(包括佣金费用,买卖价差,税赋,市场冲击等),没有保证金要求,也没有买空的限制.提出市场无摩擦的假设在于简化金融资产定价的分析过程,其主要理由有以下两点:第一,对于大的金融机构来说,这一假设是一个较好的近似,因为他们的交易成本很低,他们在保证金要求和卖空方面受的约束很少,他们能够以买卖差的中间价进行交易等.由于金融机构是市场价格的制定者,所以从描述性角度出发,上述假设是一个较为现实的假设.第二,对于小的市场参与者来说,他们首先需要了解的是无摩擦条件下金融市场将如何运作.在此基础上,才能对复杂场合下的市场规律进行进一步深入分析.因此,从规范性角度出发,上述假设也是绝对必要的. 假设二:市场参与者不承担对家风险.这就是说,对于市场参与者所涉及的任何一个金融合同交易,合同对家不存在违约的可能. 假设三:市场是完全竞争的这就是说,金融市场上任何一位参与者都是价格的承受者,而不是价格的制定者.此假设被现代财务金融学普遍采纳,相当于一条标准的公理.任何参与者都可以根据自己的愿望买入和卖出任何数量的证券,而不至于影响该证券的市场价格.显然市场规模越大,竞争性市场假设就越接近于现实. 假设四:市场参与者厌恶风险,而且希望财富越多越好. 假设五:市场不存在套利机会.如果市场上存在套利的机会,价格会迅速准确的进行调整,使得这种套利机会很快消失. （二）.关于股利的假设 股利是影响期权价值的一个重要因素.不过,在研究期权定价问题时,股利是一个广义概念.首先,这一概念包含了通常意义上的股利,即发行标的股票公司向其股东定期支付的现金股利,我们称之为离散股利对于标的资产为股票的合同其大小一般用D表示.一般来说,离散股利的支付发生在期权有效期内某些特定的时刻,它们往往是可以预先知道的.例如,公司将在每个季度末或每隔半年发放一定的股利.另一方面,对于标的资产为货币,股票指数,期货等的非股票期权来讲,所谓的的股利是指标的资产所有者在一段时间内,按一定的收益率所得到的报酬,如利息收入,因此它是一种连续的支付,我们称之为连续股利,其大小通常用股利支付率 二 模型假设与概述 （一）模型假设 Black和Scholes在推导B-S模型时做了以下假设: (1)无风险利率已知,且为一个常数,不随时间变化. (2)标的资产为股票,其价格的变化为一几何布朗运动,即 或者说, 服从正态分布 ……… 由(18)式容易得到 其中为标准正态分布N(0,1),且不同时刻的相互独立. (3)标的股票不支付股利. (4)期权为欧式期权 (5)对于股票市场,期权市场和资金借贷市场来说,不存在交易费用,且没有印花税. (6)投资者可以自由借入或贷出资金,借入利率与贷出的利率相等,均为无风险利率.而且,所有证券交易可以无限制细分,即投资者可以购买任意数量的标的股票. (7)对卖空没有任何限制(如不设保证金),卖空所得资金可由投资者自由使用. （二）模型的概述 在上述假设下,若记为定价日标的股票的价格,为看涨期权合同的执行价格,是按连续复利计算的无风险利率,为到期日,为当前定价日,是定价日距到期日的时间(单位为年),是标的股票价格的波动率,则可得到B-S模型如下: 在定价日(),欧式看涨期权的价值为 …………………….(22) 式中: ……….(23) ………………………………………(24) 而是标准正态变量的累积分布函数,即 其中服从. 由看涨期权-看跌期权平价公式:,且注意到的性质 +, 欧式看跌期权在定价日的价值为 ……………..(25) 三 模型的推导与推广 （一） Black和Scholes的推导 假设期权当前时刻的价值为,显然是标的股票当前市场价格的函数. Black和Scholes首先构造了如下套期组合:即在当前时刻,以买入标的股票股,同时以卖空一份期权.显然,该组合的构造成本.当时间变化一个微小区间(即从到),可近似看成是一个常数,则该组合价值的变动为: …………………………(26) 注意到,由B-S模型的假设 又由伊藤引理(11)式,期权价值作为的函数,应满足以下公式 将上述两式代入(26)式得 ………………………(27) 在(27)式中随机项已经不存在,这说明在这段时间上,该套期组合价值的变动是确定的,不存在风险.因此,根据无套利定价原则,不考虑交易成本等因素,在该时间段组合的收益应当是无风险利率,