COMSOL等離子体数值模拟.doc

基于Fokker-Planck方程的等离子体模拟 ALI SHAJII，DANIEL SMITH MKS Instruments, 90 Industrial Way, Wilmington, MA, USA, 01887 对于各个计算组织，等离子体的模拟一直是个极大的挑战，有很多不同近似程度的模拟计算方法。包括完整的动力学计算方法，流体近似方法和关于漂移扩散方程的方法。近几年来，有人用Fokker-Planck方程处理等离子体中的电子，同时把离子当作流体进行耦合计算，获得了很好的计算结果。本章我们将介绍基于通用Fokker-Planck方程的计算求解过程，并通过一个具体实例得到电容放电过程的电子密度分布。希望通过该简单模型使读者对等离子放电建模过程有个初步的了解。 1．引言 各种工业等离子体应用“过程”中都存在一个关键步骤[2][3]。历史上曾采用各种不同方法对等离子体进行简化建模，分别对应于不同层面问题所需准确性[3][5][7]。这些层面包括： 完整的动力学模型（多组分Boltzmann方程）[4]； 使用Monte-Carlo方法的颗粒模拟[3]； Fokker-Planck近似[1][7]； 多尺度流动模型（也被称作漂移扩散模型）[3]。 出于种种原因，使得等离子体的建模和模拟非常困难。首先，最直接的使用多流体方程的模型不能反应相关的等离子体物理过程。其次，“水动力学”系数完全取决于研究的特定问题，不能作为纯气体或液体的常数简单测量。最重要的一点是，完整的动力学模型包括Boltzmann方程，计算求解非常困难。 对于完整动力学模型和流动模型之间的需求空白，通常采用Fokker-Planck (FP)近似或者Monte Carlo (MC)颗粒模拟。这两种方法可以在所需计算复杂度和捕获等离子体重要物理细节之间找到一个很好的平衡。 本章的主要目的是展现用COMSOL Multiphysics求解FP方程的功能。为了对该问题给出一个整体认识，我们把侧重点集中在一个简单的例子上。特别是在第二节我们通过一个简单的例子对FP方程给出一个直观描述，将它用于布朗运动的颗粒模拟。本章最主要的贡献在于介绍了如何在外部电场情况下对电子动力学过程进行建模。最后，在第四节中对如何使用COMSOL Multiphysics实现该模型给出了详细的讨论。 2．一维FP和Langevin方程 对FP方程直接求导可以得到Langevin方程[1]。考虑浸没在流体中的“布朗”颗粒，如果颗粒足够小，会同时受到两种力。一是颗粒和流体介质间的粘性力，它会降低平均颗粒速度。二是颗粒与流体“分子”间随机碰撞的力。该布朗颗粒的运动控制方程如下[1]： (1) 其中是阻尼系数，随机项表示颗粒与背景流体的连续碰撞。对于这个简单的例子，通常我们假设粘性力线性依赖于颗粒速度。同时，根据随机近似，Langevin力必须满足以下方程[1]： 其中 [1]，表示整体平均，T是流体温度，k是Boltzmann常数，m是布朗颗粒的质量。同时注意到力可以很容易的通过MATLAB函数randn（见第四节）实现。给定适当的颗粒数和初始条件后，使用MC方法可以很容易的求解方程(1)。为了对颗粒在时间t时的速度进行精确静态测量，颗粒数通常需要超过一百万。最简单的初始条件为。 总之，Langevin方程描述了背景流体介质中布朗颗粒的运动。当然，如果没有随机力，颗粒的路径为。但是由于的存在，方程(1)对于很多颗粒算出的解通常是条分布曲线，分布的宽度由q决定[1]。 FP方程为MC方法提供了另一种思路。包含随机力的Langevin方程可以等价与以下偏微分方程： (2) 初始条件和边界条件为： (3) 其中w是颗粒在速度空间中的分布概率，也就是颗粒出现的概率，在无限大系统中，速度通常表示为wdv。初始条件(3)如图1所示。 求解该偏微分方程等价于对无限个颗粒进行Monte-Carlo模拟，以获得t0时的概率分布函数。图2给出了两种方法的比较。MC方法针对初始条件为的情况，求解了20000个常微分方程。 这还不是强非线性阻尼力和三维空间情况下的颗粒运动，即使如此，对于这个简单的例子，求解偏微分方程的时间和常微分方程一样。当颗粒痕迹的常微分方程是非线性时，或者需要从FEA模拟中查询外部力的值时，MC方法的计算时间就会变得非常大。 图1 初始条件w 图2 各时间步长下Fokker-Planck和Monte Carlo方法的对比 作为例子，我们考虑修改后的Langevin方程： (4) 和相应的FP方程[1]： (5) 其中，。这种情况下的分布函数如图3所示。即使计算一百万个颗粒，常微分方程的分布函数也存在很大的数值