小学六年级奥数 第十三章 进位制.doc

第十三章 进位制 知识要点 在日常生活中，我们通常使用十进制，在我们熟知的十进制中，常有O，1，2，…，9共十个数字，相加时满十就要进一。类似地，在二进制中有“满二进一”，在八进制中有“满八进一”等等。进位制的选择和使用有一定的客观标准，哪种进位制更能方便地反映某类客观事物的数量关系，人们就会采用哪种进位制。例如：1小时等于60分钟是六十进制，一年等于十二个月是十二进制等等。 一般地，设K为大于1的自然数时，K进位制的特点是： 1.“满K进一”，即相邻两个单位的进率为K，把K叫做K进位制的基数。 2.K进位制有K个不同的记数符号。如五进制用0，1，2，3，4五个记数符号。 一个K进位制的数就是各位数字与K的幂的乘积的和，其中幂指数等于相应的数字所在的位数(从右往左数)少1。 3.十进制和二进制的转化。 十进制和二进制的对应关系： 十进制1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，… 二进制1，10， 11 ，100 ，101， 110， 111 ，1000 ，1001，1010，… 把一个十进制数化为二进制数，只要用2连续去除，然后将每次所得的余数，按自下而上的顺序写出来。例如，把(13)10化成二进制： 把一个二进制数化为十进制数，只要把二进制数写成以2为底的幂的和的形式，再具体算出来。例如： (1101)2＝(1×23＋1×22＋0×21＋1×20)10 ＝(8＋4＋1)10 ＝(13)10 学习进位制知识，就要善于把进位制知识灵活地运用，把问题转化到最合适的进位制中解决问题。例如计算机就是采用二进制，充分发挥了其运行速度快的特点。 例1 把十进制数(3568)10写成数码与计算单位乘积的和的形式。 点拨 一个十进制整数的位数从右边第一位数起依次为个、十、百、千、万…”.计数单位是1，10，100，1000，10000，…，用乘方的形式来写，计数单位依次为1(100)，101，102，103，104…。 解 (3568)10＝3×103＋5×102＋6×101＋8×100 说明 像此题这样，利用数码和它的排列位置就可以写出任意大的整数。 例2 把二进制的数(101011)2写成数码与计数单位乘积的和的形式。 点拨 任何一个二进制的数，都可以用“0”和“1”两个数码来表示。它按照“满二进一”的原则记数。十进制数“10”表示十，二进制数“10”表示二，读作“一零”。为了加以区分，我们用(10)10，(10)2分别表示这两种不同进位制中的数。对于二进制的整数，从右向左计数单位分别是1(20)，21，22，23… 解 (101011)2＝1×25＋0×24＋1×23＋0×22＋1×21＋1×20 ＝25＋23＋2＋1 说明 二进制的数和十进制的数一样，也可以用各位上的数码与所在数位上的计数单位的乘积的和来表示。所不同的是，十进制的计数单位都是“10”的形式，而二进制的计数单位都是“2”的形式。 例3 把(37)10改写成二进制数。 点拨 把一个十进制数改写成二进制数，可以采用“方幂法”，即将这个十进制数写成若干个2的次幂形式，再根据例2写出这个二进制数；也可以根据二进制“满二进一”的原则，用2连续除十进制数，然后将每次所得的余数按自下而上的顺序依次写出来，这种办法通常叫“二除取余法”，即用2除十进制数自下而上依次取余数。 解法一 (37)10＝32＋4＋1 ＝1×25＋0×24＋0×23＋1×22＋0×21＋1×20 ＝(100101)2 解法二 (37)10＝(100101)2 说明 “解法一”中要注意37写成2的次幂形式中没有24，23，21，那么用0来代替。“解法二”中最后一步1÷2商0余1，这样做是为了使所得二进制数各数位上的数全部用“余数”表示，来达到“二除取余法”的要求；另外，注意最后把余数自下而上写出来。 例4 把二进制数(110 011)2改写成十进位制数。 点拨 因为一个二进制的数就是各位数字与2的幂的乘积的和，其中幂指数比相应数字所在的位数少1。所以先把这个二进制数写成数码与计数单位乘积的和的形式，然后计算即可。 解 (110011)2＝1×25＋1×24＋0×23＋0×22＋1×21＋1×20 ＝25＋24＋21＋1 ＝32＋16＋2＋1 ＝(51)10 说明 (110011)2转化为十进位制数，从左数第三、四位都是0，我们在熟练掌握方法后，可以不必写出0×23和0×22；另外，要