DA1988上海試题.doc

1988年上海数学试题解答及评分标准 一、每一小题结果正确的给3分 1． 2． 3． 4． 5． 6．6 7．2 8．7 9． 10．240 二、每一小题结果正确的给3分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 代号 Ｄ Ｂ Ａ Ａ Ｃ Ｂ Ｄ Ｂ Ｄ Ｃ 三、解：1．直线在轴上的截距分别为12和3，故它们在轴上所截得的线段的长度为9．与的交点的横坐标为．所以． 2．． ． ． 3．圆锥形容器的轴截面的底角为，液面半径． 圆锥形容器内的液体体积为． 圆柱形容器内的液体体积为． 由得． 4．由韦达定理，，． ， ，， ，． 因此，，从而， 所以． 四、解：要使，只要， 即． 由因式分解得． ，， ，即． 两端取对数得．　　　① 当时，， ； 当时，， ； 当时，，而， 式恒成立，所以，为一切实数． 五、解：1．连接，取中点，连接，则 为异面直线，所成的角． 设棱长为，则，． 连接，则． 由余弦定理可得． ， 即异面直线和所成角的大小为． 2．作，设垂足为，连接，则 为与平面所成的角． 在中，连接，，． ，． ， ， 即与底面所成角的大小为． 六、解：设，，． 由得， ． 于是，　　　　① ．　　　　② 将①，②式两端分别平方，然后相加得． 由题设可知， 所以． ， ， 解得． 由③式及上式知 当时，； 当时，． 七、解：1．双曲线的实半轴，虚半轴，半焦距． 根据双曲线的定义，得． ． 同理，． ， ． 解得． 2．线段的中点为，由题设可知，故它的垂直平分线的方程为． 由双曲线的一支关于实轴的对称性可知，若经过某一定点，则该定点必在轴上．因此只需证与轴的交点为定点即可． 设与轴的交点为，故．　　　　　① 在双曲线上， ，， ．　　　② 将②式代入①式得，． 因为的值与点的坐标无关，所以为定点，即线段的垂直平分线经过定点．