定积分 第三节 定积分的换元法和分部积分法[精选].ppt

定积分的换元法和分部积分法 一、定积分的换元法 说明: 例5. 计算 例6. 二、分部积分公式 三、小结 思考题1 解 令 * * 第三节 上一节我们建立了积分学两类基本问题之间的联系——微积分基本公式，利用这个公式计算定积分的关键是求出不定积分，而换元法和分部积分法是求不定积分的两种基本方法，如果能把这两种方法直接应用到定积分的计算，相信定能使得定积分的计算简化，下面我们就来建立定积分的换元积分公式和分部积分公式。 一、定积分的换元法 二、分部积分法 三、小结 第三节 定理1. 设函数 单值函数 满足: 1) 2) 在 上 证: 所证等式两边被积函数都连续, 因此积分都存在 , 且它们的原函数也存在 . 是 的原函数 , 因此有 则 则 1) 当? ? , 即区间换为 定理 1 仍成立 . 2) 必需注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 . 3) 换元公式也可反过来使用 , 即 或配元 配元不换限 . 解 换元： ， ； 换限： ， ， ， ， 3.例题 例1 计算 注① 第一步是采用的换元（不定积分第二类换 元法），换元的同时必须换限。在计算 时，我们采用了凑微分法，没有写出新变量， 所以没有换限. ②：由定积分的几何意义知，该积分值等 于由 ，直线 所 围图形的面积（见右图）. 面积值为圆面积的 . 例2 计算 . 解法1. 换限： ， ， 换元： ， 原式＝ . 解法2. 由此可见，定积分也可以象不定积分一样进行换元，所不同的是不定积分换元时要回代原积分变量，而对定积分则只需将其上、下限换成新变量的上、下限即可计算出定积分，而不必回代原积分变量 例4 计算 解 原式 解: 令 则 ∴ 原式 = 且 证: (1) 若 (2) 若 偶倍奇零 奇函数 例7 计算 解 原式 偶函数 单位圆的面积 证明 例8 若f(x)在[0, 1]上连续, 证明 (2)令x?p?t. 因为 例8 若f(x)在[0, 1]上连续, 证明 证明 例9 计算 . 解 积分区间为 ，被积函数为 型，利用定积分公式⑥得 例11 设 求 解 2解 定积分的分部积分公式 推导 例1 计算 解 令 则 解 例2 计算 . 例3 计算 . 解 例4 计算 解 例5 设 ，求 . 解 例6 证明定积分公式 为正偶数 为大于1的正奇数 证 设 积分 关于下标的递推公式 直到下标减到0或1为止 于是 几个特殊积分、定积分的几个等式 定积分的换元法 定积分的分部积分公式 （注意与不定积分分部积分法的区别）