导数优化问题举例[精选].doc

导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例 1.(2009·广东高考)函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是说明 (　　) A．(－∞，2) B．(0,3) C．(1,4) D．(2，＋∞) 解析：f(x)＝(x－3)·ex，f′(x)＝ex(x－2)＞0， ∴x＞2. ∴f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)． 答案：D 2.若函数h(x)＝2x－＋在(1，＋∞)上是增函数，则实数k的取值范围是 (　　) A． D．(－∞，2] 解析：因为h′(x)＝2＋，所以h′(x)＝2＋＝≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k≥－2x2在(1，＋∞)上恒成立，所以k∈ C．(－∞，－1) D．(1，＋∞) 解析：由f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)， 且当x＜－1时，f′(x)＞0； 当－1＜x＜1时，f′(x)＜0；当x＞1时，f′(x)＞0. 所以当x＝－1时函数f(x)有极大值，当x＝1时函数f(x)有极小值． 要使函数f(x)有3个不同的零点，只需满足 解之得－2＜a＜2. 答案：A 7．函数y＝sin2x－x，x∈的最大值是________，最小值是________． 解析：∵y′＝2cos2x－1＝0，∴x＝±. 而f(－)＝－＋，f()＝－， 端点f(－)＝，f()＝－， 所以y的最大值是，最小值是－. 答案：　－ 8．(文)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线l不过第四象限且斜率为3，又坐标原点到切线l的距离为，若x＝时，y＝f(x)有极值， (1)求a，b，c的值； (2)求y＝f(x)在上的最大值和最小值． 解：(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，得 f′(x)＝3x2＋2ax＋b. 当x＝1时，切线l的斜率为3，可得2a＋b＝0. ① 当x＝时，y＝f(x)有极值，则f′()＝0，可得:Zxxk.4a＋3b＋4＝0. ② 由①②解得a＝2，b＝－4. 设切线l的方程为y＝3x＋m. 由原点到切线l的距离为，则＝， 解得m＝±1. ∵切线l不过第四象限，∴m＝1. 由于切点的横坐标为x＝1，∴f(1)＝4. ∴1＋a＋b＋c＝4，∴c＝5； (2)由(1)可得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5， ∴f′(x)＝3x2＋4x－4. 令f′(x)＝0，得x＝－2，x＝. f(x)和f′(x)的变化情况如下表： x[来源:Zxxk.Com] [－3，－2) －2 (－2，) (，1] f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)  极大值  极小值  ∴f(x)在x＝－2处取得极大值f(－2)＝13， 在x＝处取得极小值f()＝. 又f(－3)＝8，f(1)＝4， ∴f(x)在上的最大值为13，最小值为. (理)已知函数f(x)＝x3＋2bx2＋cx－2的图象在与x轴交点处的切线方程是y＝5x－10. (1)求函数f(x)的解析式； (2)设函数g(x)＝f(x)＋mx，若g(x)的极值存在，求实数m的取值范围以及函数g(x)取得极值时对应的自变量x的值． 解：(1)由已知，切点为(2,0)，故有f(2)＝0， 即4b＋c＋3＝0. ① f′(x)＝3x2＋4bx＋c，由已知，f′(2)＝12＋8b＋c＝5. 得8b＋c＋7＝0. ② 联立①、②，解得c＝1，b＝－1， 于是函数解析式为f(x)＝x3－2x2＋x－2. (2)g(x)＝x3－2x2＋x－2＋mx， g′(x)＝3x2－4x＋1＋，令g′(x)＝0. 当函数有极值时，Δ≥0，方程3x2－4x＋1＋＝0有实根， 由Δ＝4(1－m)≥0，得m≤1. ①当m＝1时，g′(x)＝0有实根x＝，在x＝左右两侧均有g′(x)＞0，故函数g(x)无极值． ②当m＜1时，g′(x)＝0有两个实根， x1＝(2－)，x2＝(2＋)， 当x变化时，g′(x)、g(x)的变化情况如下表： x (－∞，x1) x1 (x1，x2) x2 (x2，＋∞) g′(x) ＋ 0 － 0 ＋ g(x)  极大值  极小值  故在m∈(－∞，1)时，函数g(x)有极值； 当x＝(2－)时g(x)有极大值； 当