导数的运算(二)[精选].ppt

五、小结 例3 已知一质点的运动方程是 则该质点运动的加速度a是______________ 解 = 练习 1. 设 解1. 2. 设 练习 1. 设 解2. 2. 设 选学内容 * §2-3 一、隐函数的导数 二、对数求导法 四、高阶导数 三、由参数方程所确定的函数的导数 1、函数和、差、积、商的求导法则： 2、复合函数求导法则 §2-2 导数的运算(二） 隐函数 隐函数的显化 我们所遇到的函数大都是一个变量明 显用另一个变量表示的形式 ------y = f(x),这种形式称为显函数. 定义: 隐函数的显化 问题: 隐函数不易显化或不能显化如何求导? 对于这样的函数 例如 , 数是由方程形式给出的. 但这个函 对于 隐函数的求导法则 隐函数一般可用F(x,y)=0表示.现在的问题是通过方程F(x,y)=0确定了y是x的函数，如何来求 y的导数.容易看出：“先将形式隐函数显化，然后再求导”不是一个好的办法，因为将隐函数显化，即将其变成显函数形式一般是非常困难的，甚至是不可能的. 对于隐函数求导，可以采用这样的方法：首先在等式两边对x求导，遇到 y 时将其认作中间变量，利用复合函数的求导法则，得到含 的方程，解出 即可. 例1 设y=y(x)由 确定，求 . 解 两边对x求导，得 解方程得 隐函数求导法则: 用复合函数求导法则直接对方程两边求导. 例2 求隐函数 的导数 解 例3 解 解得 解 解得 例4 求由方程 所确定的隐函数 解： 所求切线方程为 . ) 2 3 , 2 3 ( , 3 3 3 的切线方程和法线方程 点 上 求过 的方程为 例5 设曲线 C xy y x C = + 即 y = x 即 x + y – 3 = 0 例6 求椭圆曲线 处的切线方程 和法线方程. 解 切线斜率 法线斜率 所以切线方程为 法线方程为 §2-2 导数的运算(二） 选学内容 对数求导法 在求导运算中，常会遇到下列两类函数的求导问题，一类是幂指函数，即形如 的函数，还有一类是一系列函数的乘、除、乘方、开方所构成的函数. 所谓对数求导法，就是在 y=f(x) 的两边分别取对数，然后用隐函数求导法求导的方法. 观察函数 方法: 先在方程两边取对数，将连乘积、商函数或幂指函数简化为和差函数，然后利用隐函数的求导方法求出导数. 适用范围: 解 用对数求导法，则两边分别取对数 所以 两边对x求导，得 例1 例2 解 等式两边取对数得 例3 解 等式两边取对数得 解 等式两边取自然对数得 例4.设 ，求 = §2-2 导数的运算(二） 由参数方程确定的函数的求导法则 若将由参数方程 所确定的函数看成复合函 数： ，则由复合函数的求导法则： 这就是由参数方程所确定的函数的求导法则. 例1 设 解 例2 设 解 例3 求曲线 在t=e处的切线方程和法线方程. 解 所以切线斜率 当t=e时，x=e，y=e. 法线斜率 故切线方程为 法线方程为 例 4　设参数方程 　(椭圆方程)确定了函数 y = y(x)， 解 所以 例 5　求摆线 (a 为常数) 在对应于 　 时曲线上点的切线方程 . 解 与　 对应的曲线上的点为 所以 点 P 处的切线方程为 §2-2 导数的运算(二） 我们把函数 y?f(x) 的导数 y??f ?(x) 的导数(如果可导)叫做函数 y?f(x) 的二阶导数? 记作 类似地? 二阶导数的导数叫做三阶导数? 三阶导数的导数叫做四阶导数; 一般地? (n?1)阶导数的导数叫做n阶导数? 分别记作 y???? y (4)? ? ? ? ? y (n) 高阶导数的定义 相应地，称 为一阶导数. 若y=f(x)的n阶导数 存在， 变速直线运动的加速度a是位移函数 s=s(t) 对时间 t 的二阶导数 二阶导数的物理意义: 都存在.